Se kilde til Euklidisk rum

[[Fil:Sanzio 01 Euclid.jpg|thumb|Euklid i [[Skolen i Athen]].]]
Omkring [[300 f.Kr.|300 fvt.]] gennemførte den [[Grækenland|græske]] [[matematiker]] [[Euklid]] et omfattende studium af relationerne mellem [[afstande]] og [[vinkel|vinkler]]; først i planen (en idealiseret flad overflade) og derefter i rummet. Et eksempel på en sådan relation er, at summen af vinklerne i en [[trekant]] altid er 180 [[grad (vinkelmål)|grader]]. I dag kendes denne samling relationer som to- eller tre-[[dimension]]al [[euklidisk geometri]].

I moderne [[matematik|matematisk]] sprog kan begreberne afstand og vinkel let generaliseres til rum af højere dimension. Et ''n''-dimensionalt rum med begreber som afstand og vinkel, der opfylder de euklidiske relationer kaldes ''n''-dimensionalt '''euklidisk rum'''. Denne artikel vil introducere det moderne sprog, der kræves for abstraktionsspringet til højere dimension.

[[Fil:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|På kugleoverfladen vil vinklerne i en trekant summe til mere end 180 grader, men lokalt opfører kuglen sig som euklidisk rum.]]
En afgørende egenskab ved euklidisk rum er dets væren fladt. Der eksisterer rum i [[geometri]], som ikke er flade. For eksempel er kugleoverfladen det ikke; en trekant på en kugle vil (når den er passende defineret) have vinkler, der summer til mere end 180 grader. Faktisk er der i alt væsentligt kun et euklidisk rum af hver dimension, hvorimens der er mange ikkeeuklidiske af hver dimension. Ofte vil man konstruere disse rum som systematiske deformationer af det euklidiske rum.

== Intuitivt overblik ==
[[Fil:Congruentie.svg|thumb|Eksempel på kongruens: De to mængder til venstre er kongruente, da den ene kan roteres og flyttes til den anden.]]
En måde at tænke på den euklidiske plan på er som en [[mængde]] af [[punkt]]er, der opfylder bestemte forhold, der kan udtrykkes ved afstande og vinkler. For eksempel er der to grundlæggende operationer på planen: Den ene er [[translation (matematik)|translation]], hvilket blot vil sige, at planen forskubbes, så hvert punkt skubbes i samme retning og i samme afstand. Den anden er [[rotation]] og et fastholdt punkt i planen, hvor ethvert punkt i planen roteres i samme vinkel om dette fastholdte punkt. En af de grundlæggende læresætninger i euklidisk geometri er, at to figurer i (det vil sige [[delmængder]] af) planen skal betragtes som ækvivalente ([[kongruens (geometri)|kongruente]]), hvis den ene kan transformeres til den anden ved en række translationer, rotationer og [[refleksion (matematik)|refleksioner]]. (Se [[euklidisk gruppe]].)

For at kunne gøre denne diskussion matematisk stringent, må man definere begreberne afstand, vinkel, translation og rotation. Den typiske måde at gøre dette på, som vil blive gennemgået i resten af denne artikel, er at definere den euklidiske plan som et todimensionalt [[reelle tal|reelt]] [[vektorrum]] med et [[indre produkt]]. Da vil følgende gælde:
* [[vektor]]erne i vektorrummet tilsvarer punkterne i den euklidiske plan,
* [[addition]]soperationen i vektorrummet svarer til translation, og
* det indre produkt giver mening til begreber som vinkel og afstand, der kan bruges til det definere rotation.
Når den euklidiske plan er blevet beskrevet i dette sprog, er det faktisk ikke svært at udvide til vilkårlig dimension. I det store hele er sprogbrugen, formlerne og udregningerne ikke vanskeligere ved tilstedeværelsen af flere dimensioner (om end rotationer er mere subtile i højere dimension, og det er vanskeligere at forestille sig rum af højere dimension; selv for erfarne matematikere).

En sidste teknisk detalje er, at euklidisk rum ikke er et vektorrum, men snarere et [[affint rum]], på hvilket et vektorrum [[gruppevirkning|virker]]. Intuitivt betyder denne forskel blot, at der ikke er noget naturligt valg af, hvor [[origo]] bør være i rummet, da det kan translateres vilkårligt, og denne teknikalitet vil blive undgået i det følgende.

== Reelt koordinatrum ==
[[Fil:Vector space illust.svg|thumb|Euklidisk rum er et reelt [[vektorrum]]: En samling vektorer, der kan lægges sammen og skaleres.]]
Lad '''R''' betegne [[legeme (matematik)|legemet]] af [[reelle tal]]. For ethvert ikke-negativt [[heltal]] ''n'' betragtes rummet af alle ''n''-tupler af reelle tal. Dette rum giver et ''n''-dimensionalt vektorrum over '''R''', der betegnes '''R'''<sup>''n''</sup> og kaldes undertiden '''reelt koordinatrum'''. Et element i rummet '''R'''<sup>''n''</sup> skrives

:<math>\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n),</math>

hvor hvert ''x''<sub>''i''</sub> er et reelt tal. Vektorrumsoperationerne på '''R'''<sup>''n''</sup> defineres ved

:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n),</math>

:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).</math>

Vektorrummet '''R'''<sup>''n''</sup> har en [[standardbasis]]:
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0),</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0),</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1).</math>
En vilkårlig vektor i '''R'''<sup>''n''</sup> kan opskrives i denne basis på formen
:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.</math>

'''R'''<sup>''n''</sup> er et prototypisk eksempel på et reelt vektorrum af dimension ''n'', og faktisk er ethvert reelt ''n''-dimensionalt vektorrum ''V'' [[isomorfi|isomorft]] med '''R'''<sup>''n''</sup>. Denne isomorfi er imidlertid ikke [[kanonisk]], og et valg er isomorfi er ækvivalent til valget af [[basis (lineær algebra)|basis]] for vektorrummet ''V'' (ved at betragte billedet af standardbasen i '''R'''<sup>''n''</sup> under isomorfien til ''V''). Fordelen ved at arbejde med generelle vektorrum i stedet for '''R'''<sup>''n''</sup> er, at det ofte er at foretrække at arbejde ''koordinatfrit'' (dvs. uden hensyn til en specifik basis).

== Euklidisk struktur ==
Euklidisk rum er dog mere end blot et reelt koordinatrum. For at kunne anvende euklidisk geometri er man som omtalt nødt til at kunne give mening til begreber som afstande mellem punkter og vinkler mellem linjer eller vektorer. Den naturlige måde at opnå disse begreber er ved at introducere standard-indre produktet (også kendt som [[prikprodukt]]et) på '''R'''<sup>''n''</sup>. Det indre produkt mellem to vektorer '''x''' og '''y''' defineres som
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
Denne størrelse er altid et reelt tal (højresiden er blot en sum af produkter af reelle tal). Desuden er det indre produkt af en vektor '''x''' med sig selv altid ikke negativt. Produktet lader os desuden definere "længden" af en vektor '''x''' som

:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.</math>

Funktionen der sender en vektor i dens længde har de egenskab, der kræves af en [[norm (matematik)|norm]] og kaldes derfor den '''euklidiske norm''' på '''R'''<sup>''n''</sup>.

[[Fil:Inner-product-angle.png|thumb|Vinklen mellem vektorer fremkommer ved brug af det indre produkt]]
Vi kan nu definere '''vinklen''' θ (0 ≤ ''θ'' ≤ 2π) mellem '''x''' og '''y''' ved
:<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
hvor cos<sup>−1</sup> er [[arcus cosinus]].

Endelig kan vi definere en [[metrik (matematik)|metrik]] (eller afstandsfunktion) på '''R'''<sup>''n''</sup> som følger: For vektorer '''x''' og '''y''' definerer vi afstanden mellem '''x''' og '''y''' som

:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>

Denne afstandsfunktion kaldes den '''[[euklidisk afstand|euklidiske metrik]]'''.

Samlingen af reelt koordinatrum og denne euklidiske struktur kaldes '''Euklidisk rum''' og skrives ofte '''E'''<sup>''n''</sup>. (Bemærk dog at mange forfattere blot kalder '''R'''<sup>''n''</sup> for euklidisk rum og lader strukturen være underforstået. Den euklidiske struktur gør '''E'''<sup>''n''</sup> til et [[indre produkt-rum]] (og faktisk et [[Hilbertrum]]), et [[normeret vektorrum]] og et [[metrisk rum]].

Rotationer af euklidisk rum kan nu defineres som [[orientering (matematik)|orienteringsbevarende]] [[lineær transformation|lineære transformationer]] ''T'', der bevarer vinkler og længder:

:<math>T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y},</math>

:<math>|T\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|.</math>

I [[matrix]]sproget er rotationer [[speciel ortogonal matrix|specielle ortogonale matricer]].

== Topologi på euklidisk rum ==
Da euklidisk rum er et [[metrisk rum]] er det også et [[topologisk rum]] med den naturlige [[topologi]], der induceres af metrikken. Metriktopologien på '''E'''<sup>''n''</sup> kaldes den '''euklidiske topologi'''. En mængde er [[åben mængde|åben]] i den euklidiske topologi, [[hvis og kun hvis]] den indeholder en [[åben kugle]] om ethvert af dens punkter. Den euklidiske topologi viser sig desuden at være ækvivalent med [[produkttopologi]]en på '''R'''<sup>''n''</sup> betragtet som et produkt af ''n'' kopier af den reelle linje '''R''' (med dennes euklidiske topologi).

Et vigtigt resultat om topologien på '''R'''<sup>''n''</sup>, som er langt fra let at indse, er [[L. E. J. Brouwer|Brouwers]] [[domæneinvarians]]: Enhver delmængde af '''R'''<sup>''n''</sup> (med [[sportopologien]]), som er [[homøomorf]] med en anden åben delmængde af '''R'''<sup>''n''</sup> er selv åben. En øjeblikkelig følge af dette faktum er, at '''R'''<sup>''m''</sup> ikke er homøomorf med '''R'''<sup>''n''</sup>, hvis ''m'' ≠ ''n'' – et intuitivt resultat, der ikke lader sig vise let.

== Generaliseringer ==

I moderne matematik er euklidisk rum protoptypen for andre mere komplicerede geometriske objekter. Eksempelvis er en [[glat mangfoldighed|glat]] [[mangfoldighed (matematik)|mangfoldighed]] et [[Hausdorffrum]], der er lokalt [[diffeomorfi|diffeomorft]] med euklidisk rum. Diffeomorfier bevarer ikke afstand og indre produkt, så disse begreber går tabt på en glat mangfoldighed. Tilføjer man imidlertid mangfoldigheden et glat indre produkt på mangfoldighedens [[tangentrum]], fås hvad der kaldes en [[riemannsk mangfoldighed]]. Med andre ord er en riemannsk mangfoldighed et rum, der fås som resultat af at deformere og sammenlappe euklidiske rum. Et sådant rum har også begreber som afstande og vinkler, men opfører sig på en [[krumning|krum]] ikkeeuklidisk måde. Den simpleste riemannske mangfoldighed består af '''R'''<sup>''n''</sup> med et konstant indre produkt, og det er i alt væsentligt identisk med det euklidiske rum selv.

[[Fil:Spacetime curvature.png|thumb|Illustration af, hvordan masse ændrer rumtidens krumning.]]
Ændrer man det euklidiske rum, så dets indre produkt bliver negativt i en eller flere retninger, opnås hvad der kaldes [[pseudoeuklidisk rum]]. Glatte mangfoldigheder baseret på disse rum kaldes [[pseudoriemannske mangfoldigheder]]. Deres måske mest populære anvendelser er i [[relativitetsteori]]en, hvor [[stof (fysik)|stofløst]] [[rumtid]] repræsenteres ved det flade pseudoeuklidiske rum, der kaldes [[Minkowskirummet]], og hvor rumtider med stof repræsenteres ved andre pseudoriemannske mangfoldigheder og [[tyngdekraft]]en svarer til krumningen af den pågældende mangfoldighed.

Vort univers, som er underlagt relativitetsteorien, er ikke euklidisk. Dette bliver afgørende i teoretiske betragtninger i [[astronomi]] og [[kosmologi (astronomi)|kosmologi]] samt i praktiske problemstillinger som [[GPS|global positionering]] og [[navigation]] af [[fly]]. Ikke desto mindre kan en euklidisk model bruges i løsningen af mange andre problemer med tilstrækkelig præcision.

== Se også ==
* [[Riemannsk geometri]]
* [[Kartesisk koordinatsystem]]
* [[Polært koordinatsystem]]

{{Autoritetsdata}}
[[Kategori:Geometri]]