Se kilde til Hellinger–Toeplitz' sætning

I den del af [[matematik]]ken, der kendes som [[funktionalanalyse]], siger '''Hellinger–Toeplitz' sætning''', at enhver overaltdefineret [[symmetrisk operator]] på et [[Hilbertrum]] er [[begrænset operator|begrænset]]. Pr. definition er en operator ''symmetrisk'', hvis
:<math> \langle A x | y \rangle = \langle x | A y\rangle </math>
for alle ''x'' og ''y'' i definitionsområdet for ''A''. Bemærk at symmetriske operatorer der er defineret overalt, nødvendigvis er [[selvadjungeret operator|selvadjungerede]], så sætningen kan også formuleres med selvadjungerede operatorer i stedet for symmetriske. Sætningen er opkaldt efter [[Ernst David Hellinger]] og [[Otto Toeplitz]].

Sætningen kan betragtes som et korollar til [[sætningen om lukkede grafer]], da selvadjungerede operatorer er [[lukket operator|lukkede]]. Alternativt kan den vises ved hjælp af [[Banach–Steinhaus' sætning]] (også kendt som princippet om uniform begrænsethed).

Sætningen medfører visse tekniske vanskeligheder i den [[matematisk formulering af kvantemekanikken|matematiske formulering af kvantemekanikken]]. [[Observabel|Observable]] i kvantemekanikken svarer til selvadjungerede operatorer i Hilbertrum, hvis elementer beskriver det pågældende kvantemekaniske systems tilstande, men nogle observable (såsom energi) er ubegrænsede. Disse kan således ikke defineres overalt, og man må stille sig tilfreds med et [[tæt]] definitionsområde. Et konkret eksempel er den [[kvantemekanisk harmonisk oscillator|kvantemekaniske harmoniske oscillator]]. Denne er typisk beskrevet i Hilbertrummet [[Lp (matematik)|''L''²('''R''')]] – rummet af kvadratisk integrable funktioner med værdier i '''R''' – og energioperatoren ''H'' er (efter passende valg af enheder) defineret som
: <math> [Hf](x) = - \frac12 \frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2} f(x) + \frac12 x^2 f(x). </math>
Denne operator er selvadjungeret og ubegrænset og kan således ikke defineres på hele ''L''²('''R''').
{{DEFAULTSORT:Hellinger-Toeplitz' sætning}}

[[Kategori:Funktionalanalyse]]
[[Kategori:Matematiske sætninger]]