Se kilde til Idealgas

{{Harflertydig6|den klassiske idealgas|andre idealgasser|Idealgas (flertydig)}}
[[Fil:Translational motion.gif|thumb|right|En idealgas består af punktformede partikler.]]
'''Idealgassen''' er en idealiseret [[Model (matematik)|model]], der kan bruges på mange virkelige [[gas]]ser. En idealgas består af mikroskopiske [[Partikel (fysik)|partikler]], jf. den [[kinetiske gasteori]], hvis [[kinetiske energi]] udgør gassens [[indre energi]]. Flere af de makroskopiske størrelser i idealgassen er relaterede vha. [[idealgasligning]]en.<ref name="blundell 6-7"/>

== Antagelser og anvendelighed ==
For den ideale gas antages det, at den består af punktformede partikler, der kan bevæge sig i tre dimensioner. Partiklerne kan støde ind i hinanden ved [[fuldstændigt elastiske kollisioner]], men interagerer ellers ikke, og der er således ikke nogen [[potentiel energi]]. Den kinetiske energi beregnes [[Klassisk mekanik|klassisk]], så modellen tager ikke højde for [[Speciel relativitetsteori|relativistiske]] effekter.<ref name="blundell 6-7">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/6 6]-7 |chapter= 1.3 The ideal gas}}</ref>

Idealgassen er altså mest præcis som model ved:<ref name=boles>{{Cite book|title=Thermodynamics: An Engineering Approach|edition=4th|isbn=0-07-238332-1|last1=Cengel|first1=Yunus A.|last2=Boles|first2=Michael A.|page=[https://archive.org/details/thermodynamicsen00ceng_0/page/89 89]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/thermodynamicsen00ceng_0/page/89}}</ref> 
* Høje temperaturer: Ved høje temperaturer har gasmolekylerne så høj [[kinetisk energi]] <math>E_{\text{kin}}</math>, at den [[potentielle energi]] <math>E_{\text{pot}}</math>, der kommer af interaktionen mellem molekylerne, er meget mindre:
::<math>E_{\text{pot}} \ll E_{\text{kin}}</math>

* Lavt tryk: Ved lavt tryk er der så stor afstand mellem molekylerne, at man kan se bort fra molekylernes [[ekskluderede volumen]] <math>V_{\text{mol}}</math>.
::<math>V_{\text{mol}} \ll \frac{V} {nN_A} </math>.

* Ikke-relativistiske hastigheder: Hvis partiklernes hastighed <math>v</math> kommer tæt på [[lysets hastighed]] <math>c</math>, skal der tager højde for relativistisk mekanik, hvilket gøres for [[relativistiske gasser]].<ref name="blundell 6-7"/>
::<math>v\ll c</math>

Modellen tager heller ikke højde for [[faseovergang]]e, da en idealgas ikke kan kondensere og blive til en [[væske]]; i så fald skal andre modeller såsom [[van der Waals-gas]]sen tages i brug.<ref name="blundell 280-288">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/280 280]-288 |chapter= 26.1 The van der Waals gas}}</ref>. I en idealgas er [[Kvantemekanik|kvantemekaniske]] effekter ligeledes fraværende.<ref name="blundell 6-7"/>

På trods af begrænsningerne er idealgassen dog en simpel og praktisk model, der kan bruges til at forstå [[varmekraftmaskine]]r. Den bruges også inden for [[astrofysik]] og [[atmosfæriske fysik]]<ref name="blundell 6-7"/> såsom i den [[barometriske højdeformel]].<ref name="blundell 41-42">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/41 41]-42|chapter= 4.7 Applications of the Boltzmann distribution}}</ref>

== Kinetisk og indre energi ==
{{Uddybende|Maxwell-Boltzmann-fordelingen}}
Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden, er partiklernes [[energi]] blot deres [[kinetiske energi]] <math>E_{\text{kin}}</math> givet ved:
:<math>E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m\vec{v}^2</math>
hvor <math>m</math> er en partikels [[Masse (fysik)|masse]], og <math>\vec{v}</math> er [[hastighed]]en.
Det kan vises, at partiklernes hastighed er Maxwell-Boltzmann-fordelt, og den gennemsnitlige kinetiske energi for en partikel er derfor også givet ved:<ref name="blundell 47-48">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/47 47]-48 |chapter= 5.2 The speed distribution}}</ref>
:<math>\langle E_{\text{kin}} \rangle=\frac{3}{2}k_{\text{B}}T</math>
hvor <math>k_{\text{B}}</math> er [[Boltzmanns konstant]], og <math>T</math> er [[temperatur]]en. Energien er altså proportional med temperaturen, hvilket stemmer overens med den brede forståelse af temperatur.

Den samlede energi for hele gassen - dvs. den [[indre energi]] <math>U</math> - er nu blot den gennemsnitlige kinetiske energi gange antallet af partikler <math>N</math>:
:<math>U=N\langle E_{\text{kin}} \rangle=\frac{3}{2}Nk_{\text{B}}T</math>
Dette kan også udtrykkes vha. [[stofmængde]] <math>n</math>:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>U=\frac{3}{2}nRT</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
hvor Boltzmanns konstant er erstattet af [[gaskonstant]]en <math>R</math>.<ref name="blundell 109-110"/>

== Idealgasligningen ==
{{Uddybende|Idealgasligning}}
[[Fil:Ideal gas law relationships.svg|thumb|right|Oprindeligt blev idealgasligningen fundet ved at kombinere flere [[empiri]]ske love.]]
I en beholder vil sammenstød mellem partikler og beholderens vægge blive målt som et [[Tryk (fysik)|tryk]] <math>p</math> på [[Termodynamisk grænse|makroskopisk niveau]]. Siden temperaturen er relateret til kinetisk energi, kan det vises, at den også er relateret til tryk og [[volumen]] <math>V</math> ved:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>pV=nRT</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Dette er idealgasligningen.<ref name="blundell 56-57">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/56 56]-57 |chapter= 6.2 The ideal gas law}}</ref> Ligningen blev oprindeligt udledt vha. forsøg på virkelige gasser, hvilket viser idealgassens anvendelighed som model.<ref name="blundell 6-7"/>

== Varmekapacitet ==
[[Varmekapacitet]]erne - hvor meget [[varme]], der skal tilføres, for at hæve temperaturen - for konstant volumen <math>C_V</math> og konstant tryk <math>C_p</math> er generelt givet ved:
:<math>\begin{align}C_V&=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\\
C_p&=C_V+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\end{align}</math>
For en idealgas bliver den første:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>C_V=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{3}{2}nRT\right)=\frac{3}{2}nR</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Varmekapaciteten er altså proportional med gaskonstanten.

Ved konstant tryk kan det anvendes, at den indre energi ikke kan ændre sig, hvis temperaturen er konstant:
:<math>\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0</math>
Vha. idealgasligningen kan den afledte til volumenet med hensyn til temperatur ved konstant tryk skrives som:
:<math>\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{nRT}{p}\right)=\frac{nR}{p}</math>
Varmekapaciteten ved konstant tryk er derfor:
:<math>\begin{align}C_p&=C_V+\left[0+p\right]\frac{nR}{p}\\
C_p&=\frac{3}{2}nR+nR\\
C_p&=\frac{5}{2}nR\end{align}</math>
Adiabateksponenten er derfor:
:<math>\gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{C_p}{C_V}=\frac{\frac{5}{2}nR}{\frac{3}{2}nR}</math>
og altså:<ref name="blundell 109-110">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/109 109]-110 |chapter= 11.3 Heat capacity}}</ref>
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\gamma=\frac{5}{3}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}

== Termodynamiske processer ==
En idealgas kan udsættes for [[Termodynamisk proces|termodynamiske processer]] og kan derfor bruges til at modellere [[varmekraftmaskine]]r.<ref name="blundell 123-125">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/123 123]-125 |chapter= 13.2 The Carnot engine}}</ref>

=== Isoterm proces ===
[[Fil:Ideal gas isotherms.svg|thumb|right|Et [[pV-diagram]] med [[isoterm]]er for en idealgas ved konstant [[stofmængde]]. Jo højere temperatur, jo længere ligger kurverne fra [[origo]].]]
For en [[isoterm]] proces er temperaturen konstant, hvilket gør hele højresiden i idealgasligningen til en konstant:
:<math>pV=k</math>
For en isoterm kompression er tryk og volumen altså [[omvendt proportionale]]:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>p\propto\frac{1}{V}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Da den indre energi kun afhænger af temperatur, ændrer den sig ikke
:<math>\Delta U =0</math>
og den tilførte varme udlignes derfor af arbejdet
:<math>\Delta Q =-\Delta W</math>
Arbejdet er givet ved
:<math>\Delta W=-\int_{V_1}^{V_2} p \mathrm{d}V</math>
Trykket er omvendt proportionalt med volumenet, så integralet er:
:<math>\Delta W=-nRT\int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \mathrm{d}V=nRT\ln \frac{V_1}{V_2}</math>
Varmen er dermed:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>\Delta Q =nRT\ln \frac{V_2}{V_1}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Det ses, at gassen modtager varme under en ekspansion, men mister varme under en kompression.<ref name="blundell 116">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/116 116] |chapter= 12.2 Isothermal expansion of an ideal gas}}</ref>

=== Isobar proces ===
[[Fil:Isobars -in-V-T-diagram.svg|thumb|right|Volumen og temperatur er proportionale, når trykket holdes kostant. Jo højere tryk, jo mindre er hældningen.]]
For en [[isobar]] proces er trykket konstant, hvilket betyder, at volumen og temperatur er proportionale:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>V\propto T</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Arbejdet er
:<math>\Delta W =-p\Delta V</math>
mens ændringen indre energi er
:<math>\Delta U =\frac{3}{2}p\Delta V</math>
Varmen er tilsvarende:
:<math>\Delta Q =\Delta U-\Delta W=\frac{3}{2}p\Delta V+p\Delta=\frac{5}{2}p\Delta V</math>
Pga. varmetab mister gassen altså energi, når den pressen sammen. Dette gør den for at undgå, at trykket stiger. Vha. udtrykket for indre energi, kan dette også skrives som
:<math>\Delta Q =\frac{5}{2}nR\Delta T</math>
Det ses, at faktoren foran temperaturændringen er <math>C_p</math>, hvilket var forventeligt.

=== Adiabatisk proces ===
Under en [[adiabatisk]] proces bliver der ikke overført nogen varme:
:<math>\delta Q =0</math>
Differentialet for den indre energi er derfor blot:
:<math>dU=\delta W =-p\mathrm{d}V</math>
Men differentialet kan også skrives som:
:<math>dU=\frac{3}{2}nR\mathrm{d}T</math>
Disse to udtryk sætter lig hinanden, og trykket erstattes vha. idealgasligningen:
:<math>=-\frac{nRT}{V}\mathrm{d}V=\frac{3}{2}nR\mathrm{d}T</math>
De [[Separation af de variable|variable separeres]], og faktorer flyttes til venstre side:
:<math>-\frac{2}{3}\frac{1}{V}\mathrm{d}V=\frac{1}{T}\mathrm{d}T</math>
[[Fil:Adiabatic.svg|thumb|right|En adibatisk proces sammenlignet med isotermer. Det ses, at trykket falder hurtigere med volumen, når ekspansionen er adiabatisk.]]
Begge sider integreres:
:<math>\begin{align}-\frac{2}{3}\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\mathrm{d}V&=\int_{T_1}^{T_2}\frac{1}{T}\mathrm{d}T\\
\frac{2}{3}\ln \frac{V_1}{V_2}&=\ln \frac{T_2}{T_1}\\
\ln \left( \left( \frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}} \right)&=\ln \frac{T_2}{T_1}\\
\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}}&=\frac{T_2}{T_1}\\
T_1V_1^{\frac{2}{3}}&=T_2V_2^{\frac{2}{3}}\end{align}</math>
Det ses, at [[eksponent]]en er relateret til adiabateksponentet ved:
:<math>\frac{2}{3}=\gamma-1</math>
Så for en adiabatisk proces gælder [[bevarelseslov]]en:
:<math>TV^{\gamma-1}=k</math>
Med idealgasligningen kan temperatur også erstattes med tryk:
:<math>\frac{pV}{nR}V^{\gamma-1}=k</math>
Der gælder altså tilsvarende for tryk og volumen:
:<math>pV^{\gamma}=k</math>
eller
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>p\propto \frac{1}{V^{\gamma}}</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Adiabateksponenten er større end 1, så i et [[pV-diagram]] er kurven for en adiabatisk proces stejlere end for en isoterm proces.<ref name="blundell 117">{{cite book |last1= Blundell |first1= Stephen J. |author-link1= |last2=Blundell  |first2= Katherine M. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Concepts in Thermal Physics |url= https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990 |edition= 1. |year= 2006 |publisher= Oxford University Press |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-19-856770-7 |page= [https://archive.org/details/conceptsthermalp00blun_990/page/117 117] |chapter= 12.3 Adiabatic expansion of an ideal gas}}</ref>

=== Isometrisk proces ===
[[Fil:Isochor.png|thumb|right|For en idealgas er trykket proportionalt med temperatur, når volumenet er konstant.]]
For en [[isometrisk]] proces er volumenet konstant, hvilket betyder, at tryk og temperatur er proportionale:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation=<math>p\propto T</math>
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Hvis en lukket beholder opvarmes, vil trykket i den altså stige.

Der kan ikke udføres volumenarbejde:
:<math>\delta W =-p\mathrm{d}V=0</math>
så varmeoverførslen er lig med ændringen i indre energi
:<math>\Delta Q=\Delta U</math>
Ved at indsætte den indre energi er varmen relateret til temperaturændringen ved:
:<math>\Delta Q=\frac{3}{2}nR\Delta T</math>
Det ses, at faktoren er lig med <math>C_V</math> som forventet.
Vha. idealgasligningen kan varmen alternativ udtrykkes som:
:<math>\Delta Q=\frac{3}{2}V\Delta p</math>

== Kildehenvisninger ==
{{reflist}}
{{Atommodeller}}

[[Kategori:Gasser]]
[[Kategori:Statistisk mekanik]]