Se kilde til Keplers love

[[Fil:Classical Kepler orbit 80frames e0.6 tilted smaller.gif|thumb|right|En planets bane jf. Keplers 1. lov. Planetens omløbsbane er elliptisk, og Solen sidder i det ene af to [[Keglesnit#Brændpunkt og ledelinje|brændpunkter]].<ref name="Brilliant"/>]]
'''Keplers love''' er tre [[Lov (naturvidenskab)|love]] fremsat af den [[Det Tysk-Romerske Rige|tyske]] [[astronom]] [[Johannes Kepler]]. De er hovedsagelig baseret på [[Tycho Brahe]]s omfattende og nøjagtige observationer af [[planet]]erne i [[Solsystemet]] og beskriver, hvordan planeterne bevæger sig i deres baner omkring [[Solen]]. De tre love lyder:<ref name="Brilliant"/>
# Alle planeter følger baner med facon som en [[ellipse]], med Solen i det ene af ellipsens to [[Keglesnit#Brændpunkt og ledelinje|brændpunkter]].
# Inden for lige lange tidsrum vil linjen mellem Solens centrum og en planets centrum overstryge samme [[areal]]. En planet har dermed højest hastighed, når den er tættest på Solen og mindst hastighed, når den er længst fra Solen.
# Hvis en planet med omløbstiden <math>T</math> følger en ellipseformet bane, hvis [[Halve storakse og halve lilleakse|halve storakse]] er <math>a</math>, vil omløbstiden i anden være proportional med storaksen i tredje. En planets omløbstid vokser således med planetens middelafstand fra Solen.

Selvom lovene oprindeligt blev formuleret for Solsystemet, har de vist sig at gælde for et hvilket som helst [[gravitation]]elt [[to-legeme-system]], hvis [[Generel relativitetsteori|relativistiske]] effekter kan ignoreres.<ref name="cornell"/>
Lovene kan udledes fra [[Newtonsk gravitation|Newtons tyngdelov]].<ref name="Brilliant"/>

== Lovene ==
Keplers love er præsenteret i flere detaljer nedenfor.

=== Keplers første lov ===
[[Fil:Ellipse latus rectum.PNG|thumb|right|300px|Ellipsen med polærekoordinater (<math>r,\theta</math>) med Solen i højre brændpunkt. I figuren er <math>a</math> den halve storakse og <math>b</math> den halve lilleakse, mens <math>p</math> er [[semi latus rectum]]. Når <math>\theta=0</math> bliver <math>r=r_{\text{min}}</math>, og planeten er i [[perihelium]]. Det modsatte tilfælde med <math>\theta=180</math> er planetens [[aphelium]] med <math>r=r_{\text{max}}</math>.]]
Ifølge den første lov er en planets bane en [[Ellipse (geometri)|ellipse]], en aflang [[cirkel]], hvilket historisk gjorde op med tanken om, at planeterne følger perfekte cirkler, som påstået i det [[kopernikanske system]]. Solen skulle heller ikke længere være i centrum af kredsløbet, men i stedet i et af de to såkaldte brændpunkter, som ligger i hver ende af ellipsen.

Matematisk kan den elliptiske bane beskrives med [[Polært koordinatsystem|polære koordinater]] omkring Solen:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>r(\theta )=\frac{p}{e\cos(\theta-\delta)+1}</math>|{{EquationRef|1}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
hvor <math>p</math> og <math>\delta</math> er konstanter, <math>e</math> er [[Excentricitet (matematik)|excentriciteten]], mens <math>r</math> er afstanden til Solen, og <math>\theta</math> er vinklen. <ref name="Brilliant"/>

Minimum- og maksimum-afstanden er da:
:<math>r_{\text{min}}=\frac{p}{1+e}</math>
:<math>r_{\text{max}}=\frac{p}{1-e}</math>

Storaksen er minimum-radius plus maksimum-radius; den halve storakse er derfor
:<math>\begin{align}a&=\frac{1}{2}(r_{\text{min}}+r_{\text{max}})\\
a&=\frac{p}{1-e^2}\end{align}</math>

For den halve lilleakse i en ellipse gælder
:<math>b=\sqrt{1-e^2}a</math>

og derfor
:<math>b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}</math>

Det ses, at excentriciteten afgør, hvor aflang ellipsen er. En excentricitet på nul svarer til en cirkel.

=== Keplers anden lov ===
[[Fil:Keplero legge delle aree.svg|thumb|Keplers anden lov siger, at de skraverede arealer skal være lige store, hvis de er tilbagelagt i løbet af samme tidsrum.]]
Den anden lov siger, at baneradien dækker lige store arealer i løbet af lige lange tidsrum. Loven er også kendt som ''loven om lige store arealer''. 

Hvis en planet fx bruger en dag på at bevæge sig fra punkt ''A'' til ''B'', vil linjerne fra solen til ''A'' og ''B'' som vist i figuren, udgøre en vinkelsektor. Keplers anden lov siger, at arealet af denne vinkelsektor vil være lige så stort som arealet af sektoren, som dannes mellem Solen og ''C'' og ''D'', hvis det også tager en dag for planeten at bevæge sig fra ''C'' til ''D''. 

Forklaringen er, at planeten får større fart, jo nærmere Solen den kommer. Dette skyldes, at Solens tiltrækningskraft accelererer planeten, mens denne nærmer sig Solen, og aftager, mens den bevæger væk bort fra solen. Kepler kendte imidlertid ikke til denne fysiske forklaring af fænomenet, men kunne blot fastslå, at det var sådan, det forholdt sig og beskrev dette matematisk.

En måde at udtrykke Keplers anden lov på er, at det overstrøgne areal <math>A</math> per tid <math>t</math> er konstant. Dvs.
:<math>\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=k</math>
hvor <math>k</math> er en konstant. For en infinitesimal vinkel <math>d\theta</math> er det overstrøgne areal givet ved<ref name="Brilliant"/> 
:<math>\text{d}A=\frac{1}{2}r^2\text{d}\theta</math>
Dermed er loven:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{1}{2}r^2\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=k</math>|{{EquationRef|2}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}

=== Keplers tredje lov ===
[[Fil:solar_system_orbital_period_vs_semimajor_axis.svg|thumb|right|250px|Et [[Dobbeltlogaritmisk papir|dobbeltlogaritmisk plot]] af den halve storakse og perioden for hver planet i Solsystemet. Det ses, at sammenhængen som forventet er lineær.]]
Den tredje lov beskriver forholdet mellem planetens afstand fra Solen og omløbstiden. For eksempel: Antag, at planet A er fire gange længere væk fra Solen end planet B. Planet A skal således rejse fire gange så langt som planet B i hver bane. Ifølge den tredje lov tager planet A i alt <math>4^{\frac{3}{2}}=8</math> gange mere tid for at foretage en fuld bane rundt om Solen sammenlignet med planet B. 

Den tredje lov blev også kendt som ''den harmoniske lov'',<ref>{{kilde |first1=Gerald James |last1=Holton |first2=Stephen |last2=G. Brush |title=Physics, the Human Adventure |publisher=Rutgers University Press |year=2001 |isbn=0813529085 |p=45}}</ref> da den blev brugt af Kepler i et forsøg på at bestemme de nøjagtige regler for "kuglers musik" (sfærernes harmoni) og til at præsentere dem i et musikalsk sprog.<ref>{{kilde |first1=Edwin |last1=Burtt |title=The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science |p=52}}</ref>

Mere præcist formuleret er den halve storakse <math>a</math> i tredje proportional med perioden <math>T</math> i anden:<ref name="Brilliant"/>
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>a^3 \propto T^2</math>|{{EquationRef|3}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}

Tages [[logaritme]]n er ligning {{EquationNote|3}} en [[Proportionalitet|proportional]] sammenhæng:
:<math>\begin{align}3 \log a &\propto 2 \log T\\
\log a &\propto \frac{2}{3} \log T\end{align}</math>
Værdier for <math>a</math> og <math>T</math> i Solsystemet er plottet (se figuren).

== Historie ==
Før formuleringen af de tre love havde Kepler været tilhænger af [[kopernikanske system]] for Solsystemet, men han kunne ikke forene dette billede med Tycho Brahes meget præcise målinger.<ref name="autogeneret1">{{Kilde| url   = https://earthobservatory.nasa.gov/features/OrbitsHistory/page2.php| titel = The Science: Orbital Mechanics| work  = Nasa Earth Observatory| udgiver  = [[NASA]]| udgivelsesdato = 7. juli 2009| besøgsdato = 2. februar 2020| ref = none}}</ref>

=== Keplers tidlige model for Solsystemet ===
[[Fil:Kepler-solar-system-1.png|thumb|right|Keplers [[platonisk legeme]]-model af [[Solsystemet]] fra ''Mysterium Cosmographicum'' (1600)]]

Johannes Keplers første større astronomiske værk,  ''[[Mysterium Cosmographicum]]'' ("Det Kosmografiske Mysterium"), blev først udgivet som forsvar for det kopernikanske system. Kepler hævdede at have haft en [[åbenbaring]] 19. juli 1595, mens han underviste i Graz og demonstrerede [[Saturn (planet)|Saturn]] og [[Jupiter (planet)|Jupiters]] [[konjunktion (astronomi)|konjunktion]] i [[dyrekredsen]]; han indså, at [[regulær polygon|regulære polygoner]] har en [[indskreven cirkel|indskreven]] og en [[omskreven cirkel]] i bestemte forhold, hvilket han mente kunne være universets geometriske basis. Efter ikke at have kunnet finde et unikt arrangement af polygoner, som passede ind i kendte astronomiske observationer (selv med ekstra planeter føjet til systemet), begyndte Kepler at eksperimentere med tredimensionelle [[polyeder|polyedre]]. Han fandt frem til, at hvert af de fem [[platonisk legeme|platoniske legemer]] unikt kunne indskrives og omskrives af sfæriske [[himmelsk sfære|kugler]]; at lægge disse legemer, hver indkapslet i en sfære, inde i hinanden ville give seks lag, hvilket svarede til de seks kendte planeter — [[Merkur (planet)|Merkur]], [[Venus (planet)|Venus]], [[Jorden]], [[Mars (planet)|Mars]], [[Jupiter (planet)|Jupiter]] og [[Saturn (planet)|Saturn]]. Ved at ordne legemerne korrekt — [[oktaeder]], [[ikosaeder]], [[dodekaeder]], [[tetraeder]], [[terning]] — fandt Kepler, at sfærerne kunne placeres i intervaller, der (indenfor de begrænsninger for nøjagtighed som datidens astronomiske observationer havde) svarede til de relative størrelser på hver planets vej, forudsat at planeterne kredsede om Solen. Kepler fandt også en formel som omhandlede størrelsen på hver planets [[kugle]] relativt til længden på dens [[omløbstid]]: fra inderste til yderste planeter er forholdet af stigning i omløbstid det dobbelte af forskellen i kugleradius. Kepler afviste dog senere denne formel, fordi den ikke var præcis nok.<ref>Caspar, ''Kepler'', s. 60–65; se også: Barker and Goldstein, "Theological Foundations of Kepler's Astronomy."</ref>

[[Fil:Kepler-solar-system-2.png|thumb|left|Close-up af den indre del af modellen]]

Som han indikerede i titlen, mente Kepler at han havde afsløret Guds geometriske plan for [[universet]]. En stor del af Keplers entusiasme for det kopernikanske system kom fra hans teologiske overbevisninger om forbindelsen mellem det fysiske og det [[spiritualitet|spirituelle]]; selve universet var et billede af [[Gud (monoteistisk)|Gud]], hvor Solen svarede til Faderen, stjernesfærerne til [[Jesus|Sønnen]], og det mellemliggende rum til [[Helligånden]]. Hans første manuskript af ''Mysterium'' indeholdt et større kapitel hvori han genoprettede forbindelsen mellem det [[heliocentrisk]]e verdensbillede og bibelske passager som så ud til at understøtte et geocentrisk verdensbillede.<ref>Barker and Goldstein, "Theological Foundations of Kepler's Astronomy," s. 99–103, 112–113</ref>

Med støtte fra sin mentor [[Michael Maestlin]] fik Kepler tilladelse fra universitetet i Tübingen til at udgive sit manuskript. Hvis han fjernede de bibelske forklaringer og kom med en mere simpel og letforståelig beskrivelse både af det kopernikanske system og Keplers nye ideer. ''Mysterium'' blev udgivet i slutningen af 1596, og Kepler modtog sine eksemplarer og begyndte at sende dem til fremtrædende astronomer og mæcener tidligt i 1597; værket blev ikke læst meget, men det etablerede Keplers ry som en højst talentfuld astronom. Hans overstrømmende indvielse af magtfulde mæcener og dem, som kontrollerede hans stilling i Graz, gav ham også en vigtig indgang til [[mæcenat]]-systemet.<ref>Caspar, ''Kepler'', s. 65–71</ref>

Selv om detaljerne blev ændret i lys af hans senere værker, slap Kepler aldrig ''Mysterium Cosmographicum''s polyeder-sfæriske kosmologi. Hans senere, centrale astronomiske værker blev på nogle måder blot en yderligere udvikling af den, interesseret i at finde mere præcise indre og ydre dimensioner for sfærerne ved at beregne [[excentricitet (matematik)|excentriciteterne]] af de planetariske kredsløb inde i dem. I 1621 udgav Kepler en udvidet anden udgave af ''Mysterium'', halvanden gang større end den første, hvori han i fodnoter detailjerede de rettelser og forbedringer, som han havde opnået i de 25 år siden dens første udgivelse.<ref>Field, ''Kepler's Geometrical Cosmology'', kapitel IV, s. 73</ref>

=== Opdagelsen af de tre love ===
Johannes Kepler udgav de første to love i [[1609]] efter at have analyseret [[astronomi]]ske observationer af [[Mars (planet)|Mars]] foretaget af [[Tycho Brahe]].{{refn|group=NB|I værket ''Astronomia nova'' viser Kepler kun, at [[Mars' kredsløb]] er elliptisk. Evidens for at de øvrige planetbaner også er elliptiske blev først offentliggjort i [[1621]].<ref>Johannes Kepler, ''Astronomia nova'' … (1609), [https://archive.org/stream/Astronomianovaa00Kepl#page/284/mode/2up s. 285] og ''Epitome Astronomiae Copernicanae'' (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Østrig): Johann Planck, 1622), bog 5, del 1, III.  De Figura Orbitæ, [https://books.google.com/books?id=wa2SE_6ZL7YC&pg=PA658 p. 658–665.]</ref>}}<ref name=Holton>{{cite book|title=Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond|author=Holton, Gerald James |author2=Brush, Stephen G.  |pages=40–41|url=https://books.google.com/?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA40|edition=3rd paperback |isbn=978-0-8135-2908-0 |publisher=Rutgers University Press|location=Piscataway, NJ |access-date=27. december 2009 |date=2001}}</ref>{{refn|group=NB|I ''Astronomia nova'' (1609) beskriver Kepler ikke sin anden lov i den moderne form. Dette gør han først i ''Epitome Astronomiae Copernicanae'' (1621). I 1609 præsenterede Kepler loven på to måder – både som en afstandslov og en areallov.<ref name="Stephenson1994">{{cite book|author=Bruce Stephenson|title=Kepler's Physical Astronomy|url=https://books.google.com/books?id=pxCYAeOqJg8C&pg=PA170|date=1994|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-03652-6|page=170}}</ref>}} Keplers tredje lov blev publiceret i [[1619]].<ref name = "Kepler 1619">Johannes Kepler, ''Harmonices Mundi'' (Linz, (Østrig):  Johann Planck, 1619), bog 5, kapitel 3, [https://books.google.com/books?id=ZLlCAAAAcAAJ&pg=PA189 s. 189.]</ref><ref name=Holton /> Skønt Kepler altså tidligere havde været tilhænger af det [[kopernikanske system]] for Solsystemet, kunne han ikke forene dette billede med Brahes meget præcise målinger af [[Mars' kredsløb]].<ref name="autogeneret1" /> Efter [[Merkur (planet)|Merkur]] er Mars sågar den planet med den højeste eccentricitet.<ref>{{cite web|url=https://www.windows2universe.org/?page=/our_solar_system/planets_table.html|title=Data Table for Planets and Dwarf Planets |website=Windows to the Universe|date=9. oktober 2008|author=National Earth Science Teachers Association|access-date=2. august 2018}}</ref>

Kepler (i [[1621]]) og [[Godefroy Wendelin]] (i [[1643]]) påpegede, at Keplers tredje lov også gælder for de [[galileiske måner]] omkring [[Jupiter (planet)|Jupiter]].<ref>Joanne Baptista Riccioli, ''Almagestum novum'' … (Bologna (Bononia), (Italien):  Victor Benati, 1651), bind 1, [https://books.google.com/books?id=_mJDAAAAcAAJ&pg=PA492 s. 492 Scholia III.]</ref>{{refn|group=NB|I 1621 havde Kepler bemærket, at Jupiters måner tilnærmelsesvist følger den tredje lov.<ref>''[[Epitome Astronomiae Copernicanae]]'' (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Østrig):  Johann Planck, 1622), bog 4, del 2, [https://books.google.com/books?id=wa2SE_6ZL7YC&pg=PA554 s. 554].</ref>}} Den anden lov blev kritiseret af [[Nicolaus Mercator]] i en bog fra [[1664]], men i ''[[Philosophical Transactions]]'' i [[1670]] var han blevet tilhænger. I løbet af [[1600-tallet]] blev Keplers love generelt mere og mere accepterede.<ref>{{cite book|author=Wilbur Applebaum|title=Encyclopedia of the Scientific Revolution: From Copernicus to Newton|url=https://books.google.com/books?id=k43Q9RHuGXgC&pg=PT603|date=2000|publisher=Routledge|isbn=978-1-135-58255-5|page=603|bibcode=2000esrc.book.....A}}</ref>

Newton viste senere, at alle tre love kom af hans [[Newtonsk gravitation|tyngelov]]. [[Carl Runge]] og [[Wilhelm Lenz]] identificerede langt senere i [[faserum]]met for planetbevægelser en [[symmetri]] (den [[Ortogonalitet|ortogonale]] gruppe [[O(4)]]), som også forklarede den første og tredje lov.<ref>{{cite book|author1=Victor Guillemin|author2=Shlomo Sternberg|title=Variations on a Theme by Kepler|url=https://books.google.com/books?id=3NXFth0gDQgC&pg=PR5|date=2006|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-4184-6|page=5}}</ref>

== Udledning ==
Keplers love kan udledes vha. [[Klassisk mekanik|den klassiske mekanik]]. Ifølge [[newtonsk gravitation]] er [[kraft]]en øvet på en planet givet ved:
:<math>\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}</math>
hvor <math>G</math> er [[den universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er [[Solen]]s [[Masse (fysik)|masse]], <math>m</math> er [[planet]]ens masse, <math>r</math> er afstanden mellem Solen og planeten, mens <math>\hat{r}</math> er en [[enhedsvektor]], der peger i retningen fra sol til planet.

[[Newtons anden lov]] siger:
:<math>\vec{F}=m\ddot{\vec{r}}</math>
hvor <math>\vec{r}</math> er planetens positionsvektor med udgangspunkt i Solen, og <math>\ddot{\vec{r}}</math> er [[acceleration]]en. 

Pilene angiver, at der er tale om [[Vektor (geometri)|vektorer]], som angiver både størrelse og retning.

[[Impulsmoment]]et <math>L</math> er givet ved:
:<math>L=mr^2\dot{\theta}</math>

Ændringen i impulsmoment over tid er [[kraftmoment]]et <math>\tau</math>:
:<math>\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}</math>
Da kraften er parallel med positionsvektoren, er ændringen nul, og dermed er impulsmomentet konstant.
:<math>\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=0</math>

Det antages desuden, at Solen er stillestående, da dens masse er meget større end planetens.<ref name="Brilliant">{{Kilde | efternavn1 = Kumar | fornavn1 = Anant | efternavn2 = Chakravarti | fornavn2 = Mohnish | efternavn3 = Mahajan | fornavn3 = Nihar | efternavn4 = et al. | titel = Deriving Kepler's Laws | værk = Brilliant | url  = https://brilliant.org/wiki/deriving-keplers-laws/ | hentet = 29. juni 2019}}</ref>

=== Keplers første lov ===
For at udlede Keplers første lov skal det vises, at planetens bane er en ellipse jf. ligning {{EquationNote|1}}.

Ved at indsætte tyngdeloven i Newtons anden lov fås bevægelsesligningen for en planet:
{{NumBlk|:|<math>\ddot{\vec{r}}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}</math>|{{EquationRef|4}}}}
Denne [[differentialligning]] skal nu løses. Først skal den omskrives til [[Polært koordinatsystem|polære koordinater]]. Hvis kredsløbet placeres i <math>xy</math>-planet, og positionsvektoren har en vinkel <math>\theta</math>, kan vektoren skrives som:
:<math>\vec{r}={x \choose y}={r \cos(\theta)\choose r \sin(\theta)}</math>
Hastigheden er derfor:
:<math>\dot{\vec{r}}={\dot{x} \choose \dot{y}}={\dot{r} \cos(\theta)-r \sin(\theta) \dot{\theta} \choose \dot{r} \sin(\theta)+r \cos(\theta) \dot{\theta}}</math>
Accelerationen er for <math>x</math>-retningen:
:<math>\begin{align}\ddot{x}&=\ddot{r} \cos(\theta)-\dot{r} \sin(\theta) \dot{\theta}-\dot{r} \sin(\theta) \dot{\theta} -r \cos(\theta) \dot{\theta}^2-r \sin(\theta) \ddot{\theta}\\
&=\ddot{r} \cos(\theta)-2\dot{r} \sin(\theta) \dot{\theta}-r \cos(\theta) \dot{\theta}^2-r \sin(\theta) \ddot{\theta}\end{align}</math>
[[Fil:Centralkraft.png|thumb|right|300px|Jf. Newtons tyngdelov bliver planeten påvirket af en [[centralkraft]] ind mod Solen.]]
Og for <math>y</math>-retningen:
:<math>\begin{align}\ddot{y}&=\ddot{r} \sin(\theta)+\dot{r} \cos(\theta)\dot{\theta}+\dot{r} \cos(\theta) \dot{\theta}-r \sin(\theta) \dot{\theta}^2+r \cos(\theta) \ddot{\theta}\\
&=\ddot{r} \sin(\theta)+2\dot{r} \cos(\theta)\dot{\theta}-r \sin(\theta) \dot{\theta}^2+r \cos(\theta) \ddot{\theta}\end{align}</math>

Jf. ligning {{EquationNote|4}} er accelerationen også parallel med positionsvektoren:
:<math>\begin{align}\ddot{x}&=-\frac{GM}{r^2}\cos(\theta)\\
\ddot{y}&=-\frac{GM}{r^2} \sin(\theta)\end{align}</math>
Dvs.:
:<math>\ddot{x}\cos(\theta)+\ddot{y}\sin(\theta)=-\frac{GM}{r^2}(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))=-\frac{GM}{r^2}</math>
Dette er dog også lig med:
:<math>\begin{align}\ddot{x}\cos(\theta)+\ddot{y}\sin(\theta)&=\ddot{r} \cos^2(\theta)-2\dot{r} \sin(\theta)\cos(\theta) \dot{\theta}-r \cos^2(\theta) \dot{\theta}^2-r \sin(\theta)\cos(\theta) \ddot{\theta}+\ddot{r} \sin^2(\theta)+2\dot{r} \cos(\theta)\sin(\theta)\dot{\theta}-r \sin^2(\theta) \dot{\theta}^2+r \cos(\theta)\sin(\theta) \ddot{\theta}\\
&=\ddot{r} (\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))-r(\cos^2(\theta)+ \sin^2(\theta)) \dot{\theta}^2\\
&=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\end{align}</math>

Dermed bliver bevægelsesligningen:
{{NumBlk|:|<math>\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}</math>|{{EquationRef|5}}}}

Ved hjælp af impulsmomentet <math>L</math> kan ligning {{EquationNote|5}} skrives:
{{NumBlk|:|<math>\ddot{r}-\frac{L^2}{m^2r^3}=-\frac{GM}{r^2}</math>|{{EquationRef|6}}}}
eller
:<math>\ddot{r}=\frac{L^2}{m^2r^3}-\frac{GM}{r^2}</math>
Det ses, at tyndekraften giver anledning til en negativt acceleration - mod Solen - som forventet. Rotationen bidrager dog med et positivt led, hvilket vil sige, at den skubber planeten væk fra Solen. Det er disse to modstriden termer, der gør det muligt for planeterne at blive fastholdt i elliptiske baner.

For at løse ligning {{EquationNote|6}} kan en substitution laves:
:<math>r=\frac{1}{u}</math>
Dermed:
:<math>\dot{r}=-\frac{1}{u^2}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}</math>
Dette kan omskrives til den afledte med hensyn til vinklen:
:<math>\dot{r}=-\frac{1}{u^2}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}</math>
Jf. udtrykket for impulmomentet:
:<math>\begin{align}\dot{r}&=-\frac{1}{u^2}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}\frac{L}{m}u^2\\
&=-\frac{L}{m}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}\end{align}</math>
Tilsvarende for den anden afledte:
:<math>\begin{align}\ddot{r}&=-\frac{L}{m}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}\\
&=-\frac{L}{m}\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}\\
&=-\frac{L}{m}\dot{\theta}\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\theta^2}\\
&=-\frac{L^2}{m^2}u^2\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\theta^2}\end{align}</math>

Ligning {{EquationNote|6}} bliver således:
:<math>-\frac{L^2}{m^2}u^2\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\theta^2}-\frac{L^2}{m^2}u^3=-GMu^2</math>
Hvis <math>u</math> ikke er lig med nul, eller uendeligt <math>r</math>, er ligningen:
:<math>\begin{align}-\frac{L^2}{m^2}\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\theta^2}-\frac{L^2}{m^2}u&=-GM\\
\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\theta^2}+u&=\frac{GMm^2}{L^2}\end{align}</math>
Dette er en inhomogen differentialligning af anden orden. Den homogene version kan løses ved at [[Ansatz|gætte]] <math>u=e^{\lambda \theta}</math>:
:<math>\begin{align}\lambda^2e^{\lambda \theta}+e^{\lambda \theta}&=0\\
\lambda^2+1&=0\\
\lambda&=\pm i\end{align}</math>
Den fulde homogene løsning er altså:
:<math>u(\theta )=c_1e^{i \theta}+c_2e^{-i\theta}</math>
hvilket er det samme som:
:<math>u(\theta )=k_1\cos(\theta)+k_2\sin(\theta)</math>
En konstant tilføjes for at få en løsning til den inhomogene ligning:
:<math>u(\theta )=k_1\cos(\theta)+k_2\sin(\theta)+\frac{GMm^2}{L^2}</math>
Hvis minimum- eller maksimumafstanden skal være i vinklen nul, skal det gælde, at:
:<math>\begin{align}\frac{\text{d}u}{\text{d}\theta}&=-k_1\sin(\theta)+k_2\cos(\theta)\\
0&=-k_1\sin(0)+k_2\cos(0)\\
0&=k_2\end{align}</math>
Dvs.
:<math>u(\theta )=k_1\cos(\theta)+\frac{GMm^2}{L^2}</math>
Og derved:
:<math>\begin{align}r(\theta )&=\frac{1}{k_1\cos(\theta)+\frac{GMm^2}{L^2}}\\
r(\theta )&=\frac{\frac{L^2}{GMm^2}}{\frac{k_1L^2}{GMm^2}\cos(\theta)+1}\\
r(\theta )&=\frac{p}{e\cos(\theta)+1}\end{align}</math>
hvor
:<math>\begin{align}e&=\frac{k_1L^2}{GMm^2}\\
p&=\frac{L^2}{GMm^2}\end{align}</math>

Dermed er Keplers første lov blevet udledt. For en arbitrær orientering kan en konstant <math>\delta</math> trækkes fra argumentet i [[cosinus]]-funktionen:<ref name="Brilliant"/>
:<math>r(\theta )=\frac{p}{e\cos(\theta-\delta)+1}</math>

Hvilket er ligning {{EquationNote|1}}. Det følger, at storaksen er minimum-radius plus maksimum-radius, og den halve storakse er derfor:
:<math>\begin{align}a&=\frac{1}{2}(r_{\text{min}}+r_{\text{max}})\\
a&=\frac{L^2}{GMm^2}\frac{1}{1-e^2}\end{align}</math>

For halvdelen af lilleaksen i en ellipse gælder:
:<math>b=\sqrt{1-e^2}a</math>
og derfor
:<math>b=\frac{L^2}{GMm^2}\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}</math>

=== Keplers anden lov ===
{{multiple image
| footer    = Venstre: Illustration af Keplers anden lov. Pga. bevarelse af impulsmomentet bevæger en planet sig hurtigere, når den er tættere på Solen. Arealerne A og B, der er lige store, tager derfor samme tid at overstryge.
Højre: Det er samme princip, når en skøjteløber trækker armene til sig for at snurre hurtigere rundt.
| align     = right

| image1    = Deuxième loi de Kepler.svg
| width1    = 372
| alt1      = Lov 2

| image2    = 2008 Christmas On Ice40.jpg
| width2    = 150
| alt2      = skøjte
}}
For at vise Keplers anden lov kan ligning {{EquationNote|2}} skrives vha. impulsmomentet:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>\frac{\text{d}A}{\text{d}t}=\frac{L}{2m}</math>|{{EquationRef|7}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Da impulsmomentet er konstant, er Keplers anden lov blevet udledt. Loven er således ækvivalent med bevarelse af impulsmomentet.<ref name="Brilliant"/>

=== Keplers tredje lov ===
Af ligning {{EquationNote|7}} følger:
:<math>\int \text{ d}A=\frac{L}{2m}\int \text{ d}t</math>
For en fuld omgang er venstre side lig med arealet af elipsen, mens integralet på højresiden er lig med perioden:
:<math>\pi a b=\frac{LT}{2m}</math>
eller kvadreret
:<math>\pi^2 a^2 b^2=\frac{L^2T^2}{4m^2}</math>
Af udtrykket for <math>a</math> ses:
:<math>L^2=aGMm^2(1-e^2)</math>
Dette, samt udtrykket for <math>b</math>, insættes:
:<math>\pi^2 a^2 (1-e^2)a^2=aGMm^2(1-e^2)\frac{T^2}{4m^2}</math>
Dermed er relationen mellem den halve storakse og perioden:
{{Equation box 1
|title=
|indent=:
|equation={{NumBlk|:|<math>a^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2</math>|{{EquationRef|8}}}}
|cellpadding = 6
|border = 1
|border colour = black
|background colour=white}}
Keplers tredje lov er hermed blevet udledt, og det ses, at Solens masse indgår i proportionalitetskonstanten.<ref name="Brilliant"/>

== Anvendelse ==
[[Fil:Orbit5.gif|thumb|right|Et to-legeme-system, såsom en dobbeltstjerne, overholder Keplers love, hvis Solen erstattes af massemidtpunktet.<ref name="cornell"/>]]
Keplers love gælder også for andre [[to-legeme-system]]er end Jorden og Solen. Masserne vil da være i elliptiske kredsløb omkring systemet [[massemidtpunkt]] kaldet et [[barycentrum]]. Det er fx tilfældet med [[dobbeltstjerne]]r.<ref name="cornell">{{Kilde| url = http://hosting.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/kepler_binary.htm| titel = Binary Star Motions| work = Astronomy 2201| udgiver = [[Cornell University]]| besøgsdato = 4. februar 2020| ref = none| archive-date =  8. februar 2020| archive-url = https://web.archive.org/web/20200208144305/http://hosting.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/kepler_binary.htm| url-status = dead}}</ref>

Ligning {{EquationNote|8}} kan også bruges til at undersøge [[exoplanet]]er. Hvis en exoplanets periode er kendt, og massen på dens stjerne er målt vha. [[luminositet]]en, kan kredsløbets halve storakse beregnes.<ref>{{Kilde| url = https://www.sfu.ca/colloquium/PDC_Top/astrobiology/discovering-exoplanets/calculating-exoplanet-properties.html| titel = Calculating Exoplanet Properties| work = President's Dream Colloquium| udgiver = [[Simon Fraser University]]| besøgsdato = 3. februar 2020| ref = none| archive-date = 16. juli 2020| archive-url = https://web.archive.org/web/20200716074333/https://www.sfu.ca/colloquium/PDC_Top/astrobiology/discovering-exoplanets/calculating-exoplanet-properties.html| url-status = dead}}</ref>

Afvigelser fra Keplers love er også blevet brugt til at gøre videnskabelige opdagelser. I [[1800-tallet]] viste det sig, at planeten [[Uranus (planet)|Uranus]] afveg fra sin forventede bane, selvom der blev taget højde for gravitationel påvirkning fra de andre kendte planeter. Dette førte til forudsigelsen af en ny planet uden for Saturns kredsløb. Denne planet blev fundet i [[1846]] og hedder i dag [[Neptun (planet)|Neptun]].<ref>{{cite web |url= https://www.nbi.ku.dk/spoerg_om_fysik/planeterne/neptun/ |title= Neptun |last1= |first1= |last2= |first2= |date= 24. september 2009 |website= nbi.ku.dk |publisher= [[Niels Bohr Institutet]] |access-date=24. februar 2020}}</ref>

Igen i [[1859]] afveg planeten [[Merkur (planet)|Merkur]] fra sin forventede bane, og på lignende vis blev planeten [[Vulkan (planet)|Vulkan]] mellem Solen og Merkur foreslået. Planeten blev dog aldrig fundet, og i stedet blev en ny model for gravitation udviklet, der kunne erstatte Newtons tyngdelov. Dette var den [[generelle relativitetsteori]], der blev formuleret af [[Albert Einstein]] i [[1915]].<ref>{{cite web |url= https://www.nbi.ku.dk/spoerg_om_fysik/fysik/merkurs-baneafvigelse/ |title= Merkurs baneafvigelse |last1= Dam |first1= Mogens |last2= |first2= |date= 7. marts 2018 |website= nbi.ku.dk |publisher= [[Niels Bohr Institutet]] |access-date=24. februar 2020}}</ref><ref>{{cite web |url= https://www.nationalgeographic.com/news/2015/11/151104-newton-einstein-gravity-vulcan-planets-mercury-astronomy-theory-of-relativity-ngbooktalk/ |title= The Hunt for Vulcan, the Planet That Wasn’t There |last1= Simon |first1= Worrall |last2= |first2= |date= 4. november 2015 |website= nationalgeographic.com |publisher= [[National Geographic]] |access-date=24. februar 2020}}</ref><ref>{{cite web |url= https://videnskab.dk/miljo-naturvidenskab/store-opdagelser-einsteins-relativitetsteori |title= Store opdagelser: Einsteins relativitetsteori |last1= Kragh |first1= Helge |last2= |first2= |date= 26. marts 2014 |website= videnskab.dk |publisher= [[Videnskab.dk]] |access-date=24. februar 2020}}</ref>

== Fodnoter ==
<references group="NB"/>

== Kildehenvisninger ==
{{Reflist}}

== Eksterne henvisninger ==
* [https://fysikleksikon.nbi.ku.dk/k/keplerslove/ Keplers love] forklaret af [[Niels Bohr Institutet]]

{{autoritetsdata}}
{{lovende}}
[[Kategori:Himmelmekanik]]
[[Kategori:Verdensbilleder]]