Se kilde til Matematik

[[Fil:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique.jpg|thumb|Matematiklærer ved tavlen.]]
[[Fil:Euclid.jpg|thumb|[[Euklid]] bliver af mange regnet som [[geometri]]ens far, her i et maleri af [[Raffaello Santi|Rafael]].]]
[[Fil:Binomio al cubo.svg|thumb|Eksempel på sammenhæng mellem algebra og geometri.]]
[[Fil:Mandelpart2.jpg||thumb|300px|[[Mandelbrotmængden]] er et eksempel på en [[fraktal]].]]
[[Fil:Desargues theorem alt.svg|thumb|300px|Perspektiviske trekanter. Forlænger man trekanternes respektive sider, mødes disse forlængelser (grå ubrudte) på en ret linje kaldet perspektivaksen. Linjer (blå prikkede) gennem trekanternes respektive hjørner vil mødes i perspektivcentret (forsvindingspunktet). - Allerede i 1600-tallet beviste den franske matematiker Girard Desargues, at hvis det første gælder, vil det andet også gælde, og omvendt.]]
'''Matematik''' (fra [[oldgræsk]] μάθημα; ''máthēma'': 'viden, læring, studie') er et vidensområde, der omfatter emner som tal ([[aritmetik]] og [[talteori]]),<ref name="OED2">{{cite web|url=http://oed.com/view/Entry/114974|title=mathematics, ''n.''|publisher=Oxford University Press|website=Oxford English Dictionary|year=2012|access-date=16. juni 2012|quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.|archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974|archive-date=16. november 2019|url-status=live}}</ref> formler og relaterede strukturer ([[algebra]]),<ref name="Kneebone2">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4|title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey|author=Kneebone, G.T.|publisher=Dover|year=1963|isbn=978-0-486-41712-7|page=4|quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.|access-date=20. juni 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20170107141107/https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4|archive-date=7. januar 2017|url-status=live}}</ref> former og rummene, hvori de er indesluttet ([[geometri]]),<ref name="OED2" /> og mængder og deres ændringer ([[kalkulus]] og [[Matematisk analyse|analyse]]).<ref name="LaTorre2">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2|title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change|last1=LaTorre|first1=Donald R.|last2=Kenelly|first2=John W.|last3=Biggers|first3=Sherry S.|last4=Carpenter|first4=Laurel R.|last5=Reed|first5=Iris B.|last6=Harris|first6=Cynthia R.|publisher=Cengage Learning|year=2011|isbn=978-1-4390-4957-0|page=2|quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.|access-date=20. juni 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20170107135207/https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2|archive-date=7. januar 2017|url-status=live}}</ref><ref name="Ramana2">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10|title=Applied Mathematics|last=Ramana|first=B. V.|publisher=Tata McGraw–Hill Education|year=2007|isbn=978-0-07-066753-2|page=2.10|quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.|access-date=30. juli 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220712162240/https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2%E2%80%93PA10|archive-date=12. juli 2022|url-status=live}}</ref><ref name="Ziegler2">{{cite book|title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research|author=Ziegler, Günter M.|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-3-642-19532-7|page=vii|chapter=What Is Mathematics?|author-link=Günter M. Ziegler|access-date=20. juni 2015|chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7|archive-url=https://web.archive.org/web/20170107124522/https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7|archive-date=7. januar 2017|url-status=live}}</ref> De fleste matematiske aktiviteter involverer brugen af ren fornuft til at opdage eller bevise egenskaberne ved [[Matematisk objekt|abstrakte objekter]], som består af enten [[abstraktioner]] fra naturen eller – i moderne matematik – enheder, der er fastsat med bestemte egenskaber, kaldet [[aksiom]]er. Et [[Bevis (matematik)|matematisk bevis]] består af en række anvendelser af nogle deduktive regler på allerede kendte resultater, herunder tidligere beviste [[Sætning (matematik)|teoremer]], aksiomer og (i tilfælde af abstraktion fra naturen) nogle grundlæggende egenskaber, som betragtes som sande udgangspunkter for teorien i betragtning.

Matematik bruges i [[videnskab]]en til [[Model (matematik)|modelopsætning]] af fænomener, som så tillader [[forudsigelse]]r at blive lavet ud fra eksperimentelle love. Den matematiske sandheds uafhængighed af enhver eksperimentering indebærer, at nøjagtigheden af sådanne forudsigelser kun afhænger af modellens tilstrækkelighed. Upræcise forudsigelser, snarere end at være forårsaget af forkert matematik, indebærer behovet for at ændre den anvendte matematiske model. For eksempel kunne [[Test af general relativitet|Merkurs perihelion-præcession]] først forklares efter fremkomsten af [[Albert Einstein|Einsteins]] [[Generel relativitetsteori|generelle relativitetsteori]], som erstattede [[Newtonsk gravitation|Newtons tyngdelov]] som en bedre matematisk model.

Matematik er essentielt inden for videnskab, [[iværksætter]]i, [[Lægemiddel|lægemidler]], [[Finansøkonomi|finans]], [[datalogi]] og [[samfundsvidenskab]]. Nogle områder af matematik, såsom [[statistik]] og [[spilteori]], er udviklet i tæt korrelation med deres anvendelser og er ofte grupperet under [[anvendt matematik]]. Andre matematikområder udvikles uafhængigt af enhver applikation (og kaldes derfor ren matematik), men praktiske applikationer opdages ofte senere. Et passende eksempel er problemet med [[heltalsfaktorisering]], som går tilbage til [[Euklid]], men som ikke havde nogen praktisk anvendelse før den blev brugt i [[RSA-kryptosystemet]] (til [[Datanet|computernetværk]]<nowiki/>ssikkerhed).

[[Matematikkens historie|Historisk]] dukkede konceptet om et bevis og dets tilhørende matematiske stringens først op i græsk matematik, især i Euklids ''[[Elementerne (bog)|Elementerne]]''.<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=1. juni 2019|access-date=26. oktober 2019}}</ref> Siden begyndelsen var matematik i det væsentlige opdelt i [[geometri]] og [[aritmetik]] (manipulation af [[Naturligt tal|naturlige tal]] og [[brøk]]er), indtil det 16. og 17. århundrede, hvor algebra{{efn|Her forstås algebra i dens moderne betydning, som er, groft sagt, kunsten at manipulere formler.|name="algebra"}} og [[infinitesimalkalkulus]] blev introduceret som nye områder af emnet. Siden da har samspillet mellem matematiske innovationer og videnskabelige opdagelser ført til en hurtig stigning i udviklingen af matematik. I slutningen af det 19. århundrede førte matematikkens grundlæggende krise til systematiseringen af den [[Aksiomatisk system|aksiomatiske metode]]. Dette gav anledning til en dramatisk stigning i antallet af matematikområder og deres anvendelsesområder. Et eksempel på dette er [[Matematikfagsklassifikationen]], som oplister mere end 60 matematikområder på første niveau.

== Definition ==
{{Quote box |quoted=true |bgcolor=#FFFFF0 |salign=center|quote= Matematik er et fag, der har eksisteret i 5.000 år, det har ry for at være tørt og kedeligt, svært og utilgængeligt, abstrakt, virkeligheds- og menneskefjernt, ja nogle vil måske endda mene menneske''fjendsk''.
|source=– matematiker Tinne Hoff Kjeldsen<ref>Kjeldsen (2011), s. 10</ref>|align=right|width=25em}}
{{Quote box |quoted=true |bgcolor=#FFFFF0 |salign=center|quote= Matematikere er en slags franskmænd: snakker du med dem, oversætter de til deres eget sprog, og så er det straks noget helt andet.|source=– [[Johann Wolfgang von Goethe]]<ref>Lothar Schmidt !980): Aphorismen von A–Z. Das große Handbuch geflügelter Definitionen. Drei Lilien Verlag, Wiesbaden, s. 288–289</ref>
|align=right|width=25em}}
{{Quote box |quoted=true |bgcolor=#FFFFF0 |salign=center|quote= Mit det sværeste i skolen er regning, og det som er det sværeste i regning, er at få det til at blive det, det skal!
|source=– sagt af lille pige<ref>Johannes Møllehave (1985): ''H.C. Andersens salt – Om humoren i H.C. Andersens eventyr''. Lindhardt og Ringhof,Gyldendals Tranebøger, 265 sider, {{ISBN|87-7560-997-5}}, s. 87</ref>
|align=right|width=25em}}
Matematikken er en [[deduktion|deduktiv]] og abstrakt videnskab, som bygger på [[logik|logiske]] metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af [[aksiom]]atisk definerede abstrakte strukturer ved brug af [[logik]], læren om sandt og falsk, som er det fælles udgangspunkt.{{kilde mangler|dato=april 2020}} De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i [[naturvidenskab]]en, oftest i [[fysik]]ken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egne regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.{{kilde mangler|dato=april 2020}}

Der findes dog ikke nogen alment accepteret definition på, hvad matematik er.<ref name="Mura">{{cite journal|title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences|author=Mura, Roberta|journal=Educational Studies in Mathematics|date=december 1993|volume=25|issue=4|pages=375–85|doi=10.1007/BF01273907|jstor=3482762|issn=0013-1954 }}</ref><ref name="Runge">{{cite book|title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|title-link=Iris Runge|author1=Tobies, Renate|author2=Helmut Neunzert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|page=[https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 9]|quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.|author1-link=Renate Tobies|name-list-style=amp}}</ref> [[Aristoteles]] definerede faget som "videnskaben om størrelser", og denne definition var fremherskende frem til 1700-tallet.<ref name="Franklin">{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false |title=Philosophy of Mathematics |last=Franklin |first=James |date=2009-07-08 |isbn=978-0-08-093058-9 |page=104 |access-date=20. juni 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150906134402/https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false |archive-date=6. september 2015 |url-status=live }}</ref> Men da den matematiske forskning i løbet af 1800-tallet i stigende grad blev præget af logisk strenghed og desuden begyndte at opdyrke nye felter som [[gruppeteori]] og [[projektiv geometri]], som ikke primært handler om målelige størrelser, begyndte der blandt matematikere og [[Filosofi|filosoffer]] at dukke en række nye definitioner op.<ref name="Cajori">{{cite book |title=A History of Mathematics |publisher=American Mathematical Society (1991 reprint) |author=Cajori, Florian |author-link=Florian Cajori |year=1893 |pages=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86] |isbn=978-0-8218-2102-2}}</ref> I dag arbejder man inden for [[Matematikkens filosofi|matematisk filosofi]] med tre overordnede måder at definere faget på, nemlig en ''logicistisk'', som anser matematik for at høre under [[logik]]ken, en ''intuitionistisk'', som lægger vægt på de tankerækker og tankebaner, som matematikere følger i deres arbejde med at opnå ny indsigt, samt en ''formalistisk'', hvor det væsentlige er hvordan man håndterer matematiske symboler efter visse grundantagelser. Man er dog langtfra enige om, hvilken af disse overordnede måder giver den bedste forståelse af matematikkens natur.<ref name="Snapper">{{Cite journal|doi=10.2307/2689412|title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism|journal=Mathematics Magazine|date=september 1979|first=Ernst|last=Snapper|volume=52|issue=4|pages=207–16|id=|jstor=2689412|bibcode=1975MathM..48...12G}}</ref>

Ganske mange matematikere er ligeglade med, hvordan matematik skal defineres, eller mener at det er umuligt at gøre.<ref name="Mura" /> Der er heller ikke enighed om, hvorvidt matematik er videnskab eller kunst.<ref name="Runge" /> Nogle bruger den simple definition, at "matematik er det som matematikere laver".<ref name="Mura" />

== Historie ==
[[Fil:Fibonacci.jpg|thumb|upright|Det var den italienske matematiker [[Leonardo Fibonacci]], som i begyndelsen af 1200-tallet indførte vores nuværende talsystem i Europa, et [[Hindu-arabertal systemet|system]] som indiske matematikere havde udviklet omkring 1.000 år tidligere, og som den arabiske verden tog til sig i 800-tallet.<ref name="Brezina2006">{{citation|last=Brezina|first=Corona|title=Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra|url=https://books.google.com/books?id=3Sfrxde0CXIC&pg=PA39|year=2006|publisher=The Rosen Publishing Group|isbn=978-1-4042-0513-0|pages=39–40}}</ref>]]
{{Uddybende|Matematikkens historie}}
Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige [[astronomi]]ske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling{{kilde mangler|dato=september 2020}} af matematikken i studiet af algebra, rum og infinitesimalregning.

En vigtig del af grundlaget for den matematiske videnskab blev lagt i [[Oldtidens Grækenland|antikkens Grækenland]], hvor især [[Euklid]]s lærebog [[Euklids Elementer|Elementerne]] fra omkring år 300 f.Kr. skulle vise sig at få kolossal betydning for matematikundervisningen helt frem til engang i 1900-tallet.<ref>Kjeldsen (2011), s. 34</ref> Bogen er en samling af grundlæggende definitioner, samt udledninger af matematiske objekter og begreber baseret på disse definitioner, udledninger baseret udelukkende på [[Logik|logisk]]-[[Deduktivisme|deduktiv]] bevisførelse. Herved sikres, at hvis udgangspunktet for en udledning er sand, så bliver resultatet det også. Matematik kom herved til at fremstå som en videnskab som fremlagde absolutte sandheder.<ref>Kjeldsen (2011), s. 39</ref>

I antikkens Grækenland anså man matematikken for at omhandle og beskrive virkeligheden, og denne forestilling holdt sig til langt op i 1800-tallet. Men nye matematiske opdagelser, bl.a. [[Georg Cantor|Cantors]] arbejde inden for [[mængdelære]] med uendelige mængder og [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]' erkendelse af, at Euklids bevis for det såkaldte parallelpostulat var problematisk, førte til nye måder at anskue matematikken på. Cantors arbejde med uendelige mængder viste sig at medføre en logisk modstrid, som gjorde det nødvendigt at omdefinere [[aksiom]]-begrebet, så det fra at udtrykke en absolut sandhed om virkeligheden i stedet blot skulle være fri for modsigelser og ikke længere nødvendigvis beskrive virkeligheden.<ref>Kjeldsen (2011), s. 43, 92</ref> Gauss' arbejde med geometri førte til udvikling af den [[Ikke-euklidisk geometri|ikke-euklidiske geometri]], hvor man fx godt kan have flere parallelle linjer gående gennem samme punkt og hvor vinkelsummen i en trekant ikke altid er 180 grader,<ref>Kjeldsen (2011), s. 11, 58</ref> geometriske egenskaber som senere viste sig anvendelige i [[Albert Einstein|Einsteins]] [[relativitetsteori]].<ref>Kjeldsen (2011), s. 68</ref>

== Udspring, anvendelighed og skønhed ==
{{uddybende|Anvendt matematik|Matematisk skønhed}}
[[Fil:Line_integral_of_scalar_field.gif|thumb|Kurveintegraler kan fx bruges til at beregne sværhedsgraden af ruten for et cykelløb.]]
Matematik er i tidens løb udsprunget af en række forskellige praktiske problemer, såsom [[handel]], [[landmåling]], [[arkitektur]] og [[astronomi]]. I dag kan alle videnskaber fremvise problemstillinger, som kan løses ved hjælp af matematik, og den matematiske videnskab skaber også selv løbende nye sådanne problemstillinger. Det var f.eks. ved at kombinere [[Fysik|fysisk]] forståelse med matematisk logik at fysikeren [[Richard Feynman]] indførte brugen af [[kurveintegral]]er inden for [[kvantemekanik]]. [[Strengteori]]en, som forsøger at give en samlet beskrivelse af universets opbygning vha de fire fundamentale [[naturkræfter]], er på lignende vis en stadig inspirationskilde til ny matematisk indsigt.<ref>{{Cite journal |title=The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus |journal=Physics Today |volume=54 |issue=8 |page=48 |author=Meinhard E. Mayer |year=2001 |bibcode=2001PhT....54h..48J |doi=10.1063/1.1404851}}</ref>

Noget matematik har kun relevans inden for de områder, hvor den er udviklet, og her kan den bruges til at opnå større indsigt. Men ofte har matematisk indsigt udviklet inden for ét område vist sig anvendelig inden for andre områder. Man skelner her ofte mellem [[ren matematik]] og anvendt matematik, men erkendelser inden for den rene matematik viser sig ofte senere at kunne anvendes i praksis, som fx [[talteori]] inden for [[kryptografi]].

Den kendsgerning at selv den 'reneste' matematik ofte har praktiske anvendelsesmuligheder har [[Eugene Wigner]] kaldt "matematikkens urimelige effektivitet".<ref name="wigner1960">{{cite journal|last=Wigner|first=Eugene|year=1960|title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences|url=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|volume=13|issue=1|pages=1–14|doi=10.1002/cpa.3160130102|bibcode=1960CPAM...13....1W|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html|archive-date=28. februar 2011|df=mdy-all}}</ref> Som på andre områder har den megen ny videnskabelige indsigt den senere tid ført til en specialisering, så at matematik i dag kan opdeles i flere hundrede underdiscipliner.<ref>{{cite web |url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |title=Mathematics Subject Classification 2010 |date= |access-date=9. november 2010 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110514091144/http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |archive-date=14. maj 2011 |df=mdy-all }}</ref> Inspireret af områder uden for matematikken har mange discipliner inden for anvendt matematik udviklet sig til selvstændige discipliner, såsom [[sandsynlighedsregning]], [[statistik]], [[operationsanalyse]] og [[datalogi]].
{{Quote box |bgcolor=#90EE90 |salign=center|quote='''Euklids bevis for, der er uendeligt mange primtal'''<br />
- oprindeligt publiceret i hans værk [[Euklids Elementer|Elementer]]:<ref>James Williamson (translator and commentator), ''The Elements of Euclid, With Dissertations'', [[Clarendon Press]], Oxford, 1782, page 63.</ref><ref>{{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|page=65}}</ref>

Betragt en liste med et vilkårligt, men endeligt antal primtal
''p''<sub>1</sub>,&nbsp;''p''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''p''<sub>''n''</sub>. Hvis ''P'' er produktet af alle primtal på listen: ''P''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>...''p''<sub>''n''</sub>, og det antages at ''q''&nbsp;=&nbsp;''P''&nbsp;+&nbsp;1, så er ''q'' enten et primtal eller ej:

* Hvis ''q'' er et primtal, findes der mindst ét primtal, som ikke er på listen.
* Hvis ''q'' ikke er et primtal, må der findes en [[primtalsfaktor]] ''p'' som går op i&nbsp;''q''. Stod denne faktor ''p'' på vores liste, ville den gå op i ''P'' (idet ''P'' er produktet af alle tal i listen); men ''p'' går som sagt også op i ''P''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;''q''. Hvis ''p'' både går op i ''P'' og ''q,'' så må ''p'' også gå op i forskellen mellem de to,{{efn|Generelt gælder for vilkårlige heltal <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>, at hvis <math>a \mid b</math> og <math>a \mid c</math>, så <math> a \mid (b - c)</math>}} som er (''P''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;−&nbsp;''P'' eller&nbsp;1. Da intet primtal går op i 1,  står ''p'' ikke på listen. Dermed må der findes yderligere mindst ét primtal.

Hermed er bevist, at der for enhver liste med endeligt mange primtal findes endnu et primtal.
|align=left|width=40em}}
For mange matematisk interesserede er der et aspekt af skønhed knyttet til matematik, og man beskriver faget med udtryk som elegance, [[æstetik]] og indre skønhed, foruden enkelhed og almengyldighed. Man finder skønhed i et enkelt og elegant bevis, som fx [[Euklid|Euklis]] bevis for, at der er uendelig mange [[primtal]], eller en snild metode til at øge hastigheden af udregninger, som fx [[Fast Fourier Transform]]. Matematikeren [[G. H. Hardy]] har udtrykt, at dette aspekt af skønhed i sig selv er nok til at retfærdiggøre studiet af ren matematik, en skønhed der bl.a. kan beskrives med ord som betydning, uforudsethed, uundgåelighed og økonomi.<ref>{{cite book |title=A Mathematician's Apology |author=Hardy, G. H. |publisher=Cambridge University Press |year=1940 |isbn=978-0-521-42706-7}}</ref>

Matematisk forskning søger ofte at afdække afgørende træk ved et [[matematisk objekt]]. Det videnskabelige [[trofæ]] man stræber efter er at kunne formulere en [[Sætning (matematik)|sætning]], der karakteriserer objektet ud fra disse træk. Eksempler på særligt kortfattede og åbenbarende matematiske bevisførelser er samlet i bogen ''[[Proofs from THE BOOK]]''.{{sfnp|Aigner|Ziegler|2009}}

Den popularitet, som [[underholdningsmatematik]] nyder, er et tegn på, at mange ynder at sysle for sjov med matematiske opgaver. Omvendt støder filosoffer stadig på problemer inden for [[matematikkens filosofi]], fx vedrørende det [[Bevis (matematik)|matematiske bevis']] væsen.<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie|author1-link=Bonnie Gold |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref>

== Notation, sprog og strenghed ==
[[Fil:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|left|[[Leonhard Euler]] var ophavsmand til en stor del af vor tids matematiske notation.]]
Mange af de symboler og tegn, som bruges i matematisk notation, blev først taget i brug i løbet af 1500-tallet, fx [[lighedstegn]]et og [[Større end-tegn|større end]]- og [[Mindre end-tegn|mindre end]]-tegnene.{{efn|Kan huskes på, den store stikker til den lille, fx 7 > 5 og 5 < 7.}}<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |publisher= |access-date=14. september 2014 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archive-date=20. februar 2016 |df=mdy-all }}</ref> Tidligere var matematisk tænkning blevet skrevet ud i tekst, hvilket faktisk begrænsede mulighederne for nye videnskabelige landvindinger.<ref>Kline (1980), p. 140, om [[Diofant]]; p. 261, om [[François Viète]].</ref> Det var [[Leonhard Euler|Euler]], som indførte megen af den moderne matematiske notation, en notation som letter den matematiske forståelse for den professionelle. Derimod afskrækkes begyndere inden for faget ofte af notationen, fordi matematisk argumentation både er mere abstrakt og mere kryptisk end sædvanlig sprogbrug,<ref>Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."</ref> hvor det er nemmere at forstå sammenhængen mellem et ord (fx ''ko'') og den fysiske genstand (her et pattedyr af drøvtyggerfamilien), ordet refererer til. I modsætning hertil er matematiske symboler og begreber abstrakte, uden sidestykker i den fysiske verden,<ref>Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live ''cow'' chewing its cud in a pasture and equate it with the letters ''c–o–w'' on the page. But you can't point to a real live ''plus sign'' that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more ''abstract''."</ref> og desuden ofte med udvidede betydninger, hvor et enkelt symbol kan repræsentere flere forskellige handlinger eller begreber.<ref>Oakley 2014, p. 16: "By ''encryptedness'', I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."</ref>
{{Quote box |bgcolor=#FDD7E4 |salign=center|quote= '''Eksempel på matematisk fejlslutning'''<br />
I [[Ludvig Holberg|Holbergs]] [[komedie]] [[Erasmus Montanus]] forsøger hovedpersonen, hjemvendt til sin barndoms landsby fra studier i København, at imponere sin mor med denne logiske argumentation:<ref>Kjeldsen (2011), s. 37-38</ref>

1. En sten kan ikke flyve<br />
2. Morlille kan ikke flyve<br />
3. Altså er Morlille en sten

Erasmus forsøger at anvende den klassiske [[modus ponens]]-logik:<br /> 
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke flyve)<br />
2. p er sand (Morlille er en sten)<br />
3. Altså er q sand (altså kan Morlille ikke flyve),
 
men han får byttet om på punkt 2 og 3. For at berolige sin nu opskræmte mor fortsætter Erasmus:<br />1. En sten kan ikke tale.<br />
2. Morlille kan tale.<br />
3. Altså er Morlille ingen sten.

Dennegang anvender Erasmus [[modus tollens]]-logik:<br />
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke tale)<br />
2. q er falsk (Morlille kan godt tale)<br />
3. Altså er p falsk (altså er Morlille ingen sten),

med bedre resultat. 
|align=right|width=30em}}

Også når man ser bort fra notationen med symboler og tegn kan matematikeres sprog være svært at forstå for begyndere. Almindelige ord som ''eller'' og ''kun'' har en mere præcis betydning end i dagligsprog, mens andre ord som ''[[Åben mængde|åben]],'' ''[[Legeme (algebra)|legeme]]'' og ''[[Gruppe (matematik)|gruppe]]'' refererer til bestemte matematiske forestillinger, som ikke har med ordenes sædvanlige betydning at gøre. Matematikere bruger også [[Låneord|fremmedord]] som [[homomorfi]] og [[Integralregning|integrabel]], som ikke giver mening uden for matematikken. Grunden til, matematikere bruger en særlig notation og et særligt sprog er ønsket om at kunne udtrykke sig med større præcision end hvad dagligsprog tillader. Man taler om matematisk strenghed.{{kilde mangler|dato=juli 2020}}

[[Bevis (matematik)|Matematisk bevisførelse]] er dybest set et spørgsmål om logisk strenghed. Bevisførelsen resulterer i [[Sætning (matematik)|sætninger]], som er udledt fra [[aksiom]]er ved hjælp af systematisk logik. Herved undgår man falske sætninger udledt ud fra [[Fejlslutning (matematik)|fejlslutninger]], som der har været mange eksempler på, se tekstboks. Graden af nødvendig strenghed har vekslet gennem matematikkens historie: de gamle grækere forlangte detaljeret bevisførelse, men på [[Isaac Newton]]s tid var man begyndt at tage lidt lettere på tingene. Dette medførte efterhånden visse uhensigtsmæssigheder, så at man i 1800-tallet igen vendte sig mod detaljeret logisk analyse og formel bevisførelse. I dag diskuterer matematikere, hvorvidt og hvordan man kan bruge computere til at udlede sætninger: da omfattende og indviklede beregninger er svære at efterprøve, kan beviset for sådanne sætninger være fejlbehæftet, hvis computerens software er fejlbehæftet.{{efn|Her kræves normalt, sætningen skal være bevist ved to af hinanden uafhængige beregninger, med hver sin software.}}<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref> Der er dog udviklet hjælpeprogrammer (eng: ''proof assistants''), som kan foretage en fuldstændig gennemgang og afprøvning af alle trinene i lange, indviklede beviser, som fx [[Feit-Thomsons sætning]], hvis bevis på tryk fylder mere end 1.000 sider.
== Matematiske discipliner ==
I dag er matematik baseret på logik og bevisførelse. Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle landområder og jordlodder og for at forudsige [[astronomi]]ske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling{{kilde mangler|dato=september 2020}} af matematikken i studiet af hhv [[tal]], rum og infinitesimalregning, også kaldet algebra, geometri og analyse.<ref>[https://denstoredanske.lex.dk/matematik matematik | lex.dk – Den Store Danske<!-- Botgenereret titel -->]</ref>

=== Logik og mængdelære ===
{{uddybende|Matematisk logik|Mængdelære|Kategoriteori|Gödels ufuldstændighedssætning}}
Hvor matematikeres arbejde oprindeligt udelukkende bestod i beregninger, opstod efterhånden et behov for at få formaliseret de regler, man regnede efter. Dette var baggrunden for udviklingen af [[matematisk logik]], hvor [[filosofi]]ens [[Logik|logiske]] tænkning anvendes inden for matematiske discipliner. Ud fra nogle få grundlæggende logiske sandheder, kaldet [[aksiom]]er, søger man vha logisk argumentation at nå frem til nye sandheder af mere indviklet natur om specifikke matematiske problemstillinger. Omkring år 1900 søgte [[David Hilbert]] at formalisere matematikken ved at opstille al matematik i et system af aksiomer, som bl.a. skulle afhjælpe nogle logiske problemer i Euklids geometri, men senere viste [[Kurt Gödel]] i sin [[Gödels ufuldstændighedssætning|ufuldstændighedssætning]], at dette ikke lader sig gøre. De første årtier af 1900-tallet blev præget af en krise inden for matematikken, hvor man (forgæves, skulle det vise sig) søgte at afdække et sådant fuldstændigt forklarende system, i stil med Hilberts.<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref><ref>"The method of 'postulating' what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil." [[Bertrand Russell]] (1919), ''Introduction to Mathematical Philosophy'', New York and London, [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html p. 71.] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150620162751/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html|date=20. juni 2015}}</ref>

I [[mængdelære]]n beskæftiger man sig med samlinger af objekter. Dette felt blev især udviklet af [[Georg Cantor]] i slutningen af 1800-tallet, bl.a. som et forsøg på at opnå en bedre forståelse af [[uendelighed]]sbegrebet. Mængdelæren er blevet en vigtig matematisk disciplin, som mange i dag opfatter som et helt afgørende redskab inden for praktisk talt alle områder af matematik.<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|0-486-61630-4}}. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."</ref>

==== Kombinatorik ====
[[Fil:Permutations RGB.svg|thumb|130 px|Permutationer: tre farver kan sættes i rækkefølge på seks forskellige måder, idet <math>3!=3\cdot2\cdot1=6</math>.]]
{{Uddybende|Kombinatorik}}
I mange situationer står man over for at skulle udvælge elementer fra en mængde efter visse kriterier, og man kan nu spørge, hvor mange valgmuligheder der er i hver af sådanne situationer. Hvis elementerne skal vælges i en bestemt rækkefølge, som fx de optrædende ved en bestemt festivalkoncert eller farverne i et flags (vandrette eller lodrette) striber, kalder man valgmulighederne for [[permutation]]er, og her gælder alment, at hvis man skal udvælge q elementer fra en mængde på n elementer, kan dette gøres på

: <math>P(n,q) = \underbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-q+1)}_{q\ \mathrm{faktorer}} = \frac{n!}{(n-q)!}</math>
forskellige måder,{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=154-160}} hvor størrelsen <math>n!</math> (læses "n fakultét") er lig produktet af alle tallene fra n til 1:

: <math>n!=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1</math>

I andre situationer udvælger man elementer fra en mængde i tilfældig rækkefølge, fx når man fra et almindeligt spil kort deler 13 kort ud til hver af 4 spillere. En sådan hånd af 13 kort kaldes en [[Kombinatorik|kombination]], og her gælder alment, at hvis man skal udvælge q elementer fra en mængde på n elementer, kan dette gøres på

: <math>K(n,q) = \frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-q+1)}{q\cdot (q-1)\cdot(q-2)\cdots 2 \cdot 1}= \frac{n!}{(n-q)!\cdot q!}</math>
forskellige måder. I tilfældet med kortspillet er der tale om

: <math>K(52,13) = \frac{52!}{39!\cdot 13!} = \frac{52\cdot51\cdot50\cdots40}{13\cdot12\cdot11\cdots1}=635.013.559.600</math>

eller godt 635 mia forskellige kombinationer.{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=161-163}}

==== Sandsynlighedsregning ====
{{Uddybende|Sandsynlighedsregning}}
I hverdagen stilles man ofte over for at skulle vurdere, hvor sandsynligt det er at noget bestemt vil indtræffe. Ved mange af sådanne hændelser er det svært eller umuligt at udtale sig præcist om sandsynligheder, fx udfaldet af en fodboldkamp eller et straffespark, mens det i andre situationer godt kan lade sig gøre. Dette gælder fx udfaldet af spil med en [[terning]]. De 6 mulige ''udfald'' af et terningkast udgør tilsammen ''udfaldsrummet'' U for eksperimentet ’at kaste en terning’,

:<math>U=\{1,2,3,4,5,6\}</math>

Sandsynlighederne for hvert udfald beskrives af en tilknyttet funktion, kaldet en [[stokastisk variabel]] ('stokastisk' hentyder til, at udfaldet af eksperimentet er tilfældigt og altså ikke kan forudsiges). Spiller man med en terning, så er sandsynligheden p for at slå 1 eller 2 eller 3 eller 4 eller 5 eller 6 øjne i hvert tilfælde 1/6, svarende til, at der er tale om et ''symmetrisk sandsynlighedsfelt''. Det gælder her, som for ethvert udfaldsrum, at summen af sandsynlighederne for de forskellige udfald er lig med 1:
[[Fil:Twodice.svg|thumb|300 px|Kombinationer: ved kast med to terninger varierer summen af øjnene fra 2 til 12; så til de 36 udfald vist t.v. svarer de 11 hændelser vist t.h.]]
:<math>p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=6/6=1</math>

Hvis man spiller med to terninger, fås et udfaldsrum med <math>6\cdot6 = 36</math> elementer, idet hver terning kan falde på 6 forskellige måder. Normalt vil man ikke i et terningespil, som fx [[Matador (brætspil)|matador]] eller [[Meyer (terningspil)|meyer]], skelne mellem udfald med samme øjensum, som fx {1,2} og {2,1}, eller {1,3}, {2,2} og {3,1}, men blot registrere, at summen af øjnene er 3, hhv. 4. Udfaldsrummet for spil med to terninger kan derfor opdeles i 11 delmængder, kaldet ''hændelser'', se figur.{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=171-176}}

Det simpleste eksperiment inden for sandsynlighedsregning er kast med en mønt, som har to mulige udfald, plat eller krone, og i tilfælde af en symmetrisk mønt hver med sandsynligheden s=½. Hvis man udfører et eksperiment med at kaste en mønt 5 gange, får man således et udfaldsrum med <math>2^5=32</math> forskellige udfald. Disse fordeler sig på hændelserne '5 krone', '4 krone', '3 krone' osv., og sandsynlighederne for disse hændelser kan beskrives vha [[binomialfordelingen]]{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=187-192}}
: <math>P(q)=K(n,q)s^q(1-s)^{n-q}=\binom{n}{q}s^q(1-s)^{n-q}</math>
hvor q er antal krone, n er antal kast, mens s er sandsynligheden for krone i et kast.

=== Aritmetik og talteori ===
{{Quote box |bgcolor=#90EE90 |salign=center|quote= '''Opgave i aritmetik'''<br />
Udregn denne [[brøk]]:
<br /><math>\frac{3^2*2+(\sqrt{9}-2)*3} {7}</math>

''[[Regnearternes rækkefølge|Rækkefølge for udregninger]]:''{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2010|p=16}}
<br />''1. parenteser''
<br />''2. potenser og rødder''
<br />''3. multiplikation og division''
<br />''4. addition og subtraktion''

Brøken kan omskrive således:
<br /><math>(3^2*2+(\sqrt{9}-2)*3)/7</math>
<br />Først udregnes potenser og rødder,
<br /><math>(9*2+(3-2)*3)/7</math>
<br />dernæst indre parentes, ved subtraktion,
<br /><math>(9*2+1*3)/7</math>
<br />dernæst ydre parentes, først multipliceres,
<br /><math>(18+3)/7</math>
<br />dernæst adderes
<br /><math>21/7</math>
<br />og til slut divideres
<br /><math>3</math>
|align=right|width=20em}}
[[Fil:Spirale Ulam 150.jpg|thumb|left|[[Ulams spiral]] viser, hvordan [[primtal]]lenes forekomst blandt de [[naturlige tal]] ikke er tilfældig, men følger komplekse mønstre.]]
[[Fil:Perfect number Cuisenaire rods 6.png|thumb|left|Tallet 6 er et [[fuldkomment tal]].]]
Mennesker og samfund har fra de tidligste tider haft brug for at kunne håndtere [[tal]]. Først indførtes de [[Naturligt tal|naturlige tal]] [[1 (tal)|1]], [[2 (tal)|2]], [[3 (tal)|3]], [[4 (tal)|4]] osv.<ref>{{Cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181004081907/http://www.oed.com/view/Entry/129082 |archive-date=2018-10-04 |url-status=live }}</ref> Senere blev tallet [[0 (tal)|0]] indført,<ref>{{Cite news |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |title=The Origin of Zero |last=Matson |first=John |work=Scientific American |access-date=2017-05-16 |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20170826235655/https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |archive-date=2017-08-26 |url-status=live }}</ref> og [[Positiv og negativ|negative tal]],<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|last=Hodgkin|first=Luke|date=2005-06-02|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-152383-0|location=|pages=85–88|language=en|access-date=2017-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20190204012433/https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false|archive-date=2019-02-04|url-status=live}}</ref> foruden [[rationale tal]] som 1/2 og -2/3, samt de [[reelle tal]]<ref>T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11.&nbsp;In: {{citation |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |year=2000 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|editor1-last=Selin|editor2-last=D'Ambrosio|editor1-first=Helaine|editor2-first=Ubiratan|editor1-link=Helaine Selin|editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio |isbn=1-4020-0260-2}}.</ref> som fx <math>\sqrt{2}</math> og [[Pi (tal)|pi]], og senest de [[komplekse tal]],<ref name="Descartes 1954">{{Citation |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |year=1954 |author-link=René Descartes |orig-year=1637 |page= |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-60068-8 |access-date=20. april 2011 }}</ref> som udvider talbegrebet fra at omfatte punkter langs en en-dimensionel tallinje til at omfatte punkter i en to-dimensionel plan.<ref name=":0" /> Med alle disse grupper af tal kan man lave beregninger ved hjælp af de fire regningsarter [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]] og [[Division (matematik)|division]] (også kaldet hhv at ''lægge sammen'', ''trække fra'', ''gange'' og ''dividere''). Ud over regningsarterne kan man foretage [[procent]]regning, uddragning af [[Rod (matematik)|rødder]] og [[Potens (matematik)|potensopløftning]].

Ved beregninger er det især divisionsoperationen, der kan være tidkrævende, og matematikere begyndte tidligt at undersøge mængden af [[divisor]]er for heltal, altså hvilke heltal der går op i andre heltal. Dette førte til studiet af [[primtal]] (heltal uden divisorer), som er en klassisk disciplin inden for [[talteori]], men fx også studiet af [[fuldkomne tal]] (heltal, hvor summen af divisorerne er lig tallet, se figur).{{Kilde mangler|dato=august 2020}}

De gamle ægyptere havde udviklet et system til brøkregning baseret på [[stambrøk]]er (brøker med tælleren 1), og multiplikationer blev udført efter et system af fordoblinger og additioner ved hjælp af tabeller af formen 2/n; man brugte fx brøken 256/81 som tilnærmelse til [[Pi (tal)|pi]].<ref>Erik Lund, Mogens Pihl og Johannes Sløk (1962): De europæiske ideers historie. Gyldendal, 375 sider, s. 52</ref>

De gamle grækere opdagede,<ref name="Thea">Plato, ''Theaetetus'', p. 147 B, (for example, {{harvnb|Jowett|1871}}), cited
in {{harvnb|von Fritz|2004|p=212}}: "Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;..." ''See also'' [[Spiral of Theodorus]].</ref> at <math>\sqrt{2}</math> ikke kan skrives som en brøk, at det altså ikke er et rationalt tal, men et irrationalt, og deres opdagelse af, der findes irrationale tal menes på den tid at have afskedkommet en forskningsmæssig krise inden for matematik.{{sfn|von Fritz|2004}}

:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>1, 2, \ldots</math> || <math>-1, 0, 1, \ldots</math> || <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots</math> || <math>\pi, e, \sqrt{2},\ldots</math> || <math>i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots</math>
|-
| [[Naturlige tal]]|| [[Heltal]] || [[Rationale tal]] || [[Irrationale tal]] || [[Komplekse tal]] ||
|-
| <math>36 : 9 = 4</math> || [[Fil:Elliptic curve simple.png|96px]]
|-
| [[Aritmetik]] || [[Talteori]]
|}

=== Algebra ===
{{Image frame|align=right|width=200|caption=Løsninger til [[andengradsligning]]en <math>ax^2+bx+c=0</math> hvor <math>a\neq0</math>. Symbolerne {{mvar|a,b,c}} repræsenterer ukendte tal med konstant værdi, mens den variable {{mvar|x}} er ligningens løsning.|content=<math>\overset{}{\underset{}{ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} } }</math>}}
[[Algebra]] er en vigtig matematisk disciplin, som mange skoleelever i en eller anden form stifter bekendtskab med, i Danmark typisk i løbet af [[Gymnasium|gymnasiet]], i USA i [[high school]]. Undervisningen i algebra bygger videre på elevernes kendskab til aritmetik, men hvor aritmetik drejer sig om at behandle bestemte tal,<ref>[[Herbert Ellsworth Slaught|H.E. Slaught]] and N.J. Lennes, ''Elementary algebra'', Publ. Allyn and Bacon, 1915, [https://books.google.com/books?id=gLii_eO4dNsC&lpg=PA1&dq=%22Elementary%20algebra%22%20letters&pg=PA1#v=onepage&q&f=false page 1] (republished by Forgotten Books)</ref> arbejder man i algebra med tal med ukendt, konstant eller skiftende størrelse.<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{ISBN|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=7hdK4RSub5cC&lpg=PA2&dq=what%20is%20algebra%20for&pg=PA2#v=onepage&q=generalization&f=false page 2]</ref> Ved hjælp af disse algebraiske størrelser, samt en særlig algebraisk notation og de aritmetiske regneregler, er det muligt at beskrive forholdet mellem forskellige talstørrelser på formel og præcis måde, og dermed angive almene løsninger for en lang række beregningsopgaver. Inden for såvel [[naturvidenskab]] i almindelighed som matematik i særdeleshed findes der mange kvantitative sammenhænge, såsom [[andengradsligning]]en (se figur), som er beskrevet ved hjælp af algebraiske [[ligning]]er. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af [[abstrakt algebra]]. Det for fysikerne vigtige begreb [[vektor (matematik)|vektorer]], der er generaliseret til [[vektorrum]]met og studeret i [[lineær algebra]], tilhører de to grene algebra og rum.

==== Elementær algebra ====
[[Fil:algebraic equation notation.svg|200px|thumb|left|1. [[Potens (matematik)|Eksponent]] <br />2. [[Koefficient]] <br />3. [[Led (matematik)|Led]] <br />4. [[Funktion (matematik)|Operator]] <br />5. [[Konstant]] <br />x, y: [[Variabel (matematik)|Variable]].]]
{{Quote box |bgcolor=#90EE90 |salign=center|quote= '''Opgave i algebra'''<br />
Spørgsmål: Hvis B er fire år ældre end A, og de tilsammen er tolv år, hvor gamle er så A og B?
<br /><br />Svaret findes ved at opstille ''to ligninger med to ubekendte'', nemlig A’s alder x og B’s alder y:
<br />{{EquationRef|Ligning 1}} <math>y=x+4</math><br />{{EquationRef|Ligning 2}}  <math>x+y=12</math><br /><br />Ligning 2 kan omskrives til:<br /><math>y=12-x</math><br />Nu kan højre side af de to ligninger sættes lig hinanden:<br /><math>x+4=12-x</math><br />som kan omskrives til:<br /><math>2x=8</math>
<br />eller:<br /><math>x=4</math><br />og ved indsættelse i Ligning 1:<br /><math>y=x+4=8</math>
|align=right|width=25em}}
{{Quote box |bgcolor=#FFFFF0 |salign=center|quote= De tre forskellige gangetegn betyder det samme:<br /> <math>2 \times 2=2*2=2\cdot 2=4</math><br />
De fire forskellige divisionstegn betyder det samme:<br />
<math>4:2=4/2=4\div 2=\frac 42=2</math><br />
- og man kan ikke dividere med 0.<ref>[https://www.mathsisfun.com/numbers/dividing-by-zero.html Dividing by zero, på mathisfun.com]</ref>|align=right|width=25em}}

Inden for algebra anvendes en særlig notation og sprogbrug til behandling og udregning af talstørrelser, se figuren med udtrykket <math>3x^2 - 2xy + c</math>. Udtrykket er opbygget af tre led, som hver er adskilt af operatorerne + eller –, og hvert led består af et antal faktorer, som kan være enten [[koefficient]]er, [[Variabel (matematik)|variable]] eller [[Potens (matematik)|eksponenter]]. Faktorerne skal ganges med hinanden, men gangetegnene udelades normalt og er underforståede, når der ikke er mellemrum mellem faktorerne. Med leddet <math>3x^2</math> menes underforstået <math>3 \times x^2 =3 \times x \times x</math>, mens der med <math>2xy</math> menes <math>2 \times x \times y</math>.<ref>Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in ''Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook'', Publisher Panpac Education Pte Ltd, {{ISBN|9812738827}}, 9789812738820, [https://books.google.com/books?id=nL5ObMmDvPEC&lpg=PR9-IA8&ots=T_h6l40AE5&dq=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&pg=PR9-IA8#v=onepage&q=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&f=false page 68]</ref><ref>{{Cite web |url=https://mateuxteknisk.systime.dk/index.php?id=1158&L=952#c10982 |title=Arkiveret kopi |access-date=22. august 2020 |archive-date=20. februar 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210220094741/https://mateuxteknisk.systime.dk/index.php?id=1158&L=952#c10982 |url-status=dead }}</ref> En koefficient er en konstant (her kendt) talværdi, som skal ganges med den eller de variable, som har ukendte talværdier, og som eventuelt skal opløftes til den (her kendte) potens, som eksponenten angiver.<ref>Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, ''Introductory Algebra: An Applied Approach'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|1439046042}}, 9781439046043, [https://books.google.com/books?id=MPIWikTHVXQC&lpg=PP1&ots=yG1m9DkIiH&dq=coefficient%20algebra&pg=PA78#v=onepage&q=coefficient%20&f=false page 78]</ref>

I algebra bruges bogstaver til alle slags faktorer. De første bogstaver i alfabetet (fx <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>) bruges typisk til koefficienter eller konstanter, mens dem sidst i alfabetet (fx <math>x</math>, <math>y</math> og <math>z</math>) bruges til variable,<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{ISBN|1615302190}}, 9781615302192, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&lpg=PA71&dq=elementary%20algebra%20letters%20alphabet%20constants%20variables&pg=PA71#v=onepage&q=letters&f=false page 71]</ref> ofte skrevet i [[kursiv]].<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{ISBN|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]</ref>

Beregning fungerer inden for algebra på samme måde som inden for aritmetik,<ref>Horatio Nelson Robinson, ''New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies'', Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [https://books.google.com/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false page 7]</ref> dvs [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]], [[Division (matematik)|division]] og [[potensopløftning]].<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, ''Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach'', Publisher: Cengage Learning, 2007, {{ISBN|061885195X}}, 9780618851959, 1114 pages, [https://books.google.com/books?id=5iXVZHhkjAgC&lpg=PA6&ots=iwrSrCrrOb&dq=operations%20addition%2C%20subtraction%2C%20multiplication%2C%20division%20exponentiation.&pg=PA6#v=onepage&q=operations%20addition,%20subtraction,%20multiplication,%20division%20exponentiation.&f=false page 6]</ref>

Led med variable med højest potens skrives til venstre, fx  <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> til venstre for <math>2x</math>. Koefficienter lig med 1 udelades normalt  (fx skrives <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math> som <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>),<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|0470185597}}, 9780470185599, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&lpg=PA72&ots=Excnhf1AgW&dq=algebra%20coefficient%20one&pg=PA72#v=onepage&q=coefficient%20of%201&f=false page 72]</ref>  ligesom eksponenter lig med 1 (fx skrives <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math> som <math style="margin-bottom:8px">3x</math>).<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{ISBN|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA31&ots=NKrtZZ1KDE&dq=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&pg=PA32#v=onepage&q=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&f=false page 31]</ref> Er eksponenten nul, er resultatet altid 1 (fx er <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> altid lig med 1),<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|0538733543}}, 9780538733540, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&lpg=PP1&ots=kL8erjajyR&dq=algebra%20exponents%20zero%20one&pg=PA222#v=onepage&q=exponents%20&f=false page 222]</ref> dog undtaget  <math>0^0</math>, som ikke giver mening.

Elementær algebra er en udbygning af aritmetik,<ref>Thomas Sonnabend, ''Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{ISBN|0495561665}}, 9780495561668, 759 pages, [https://books.google.com/books?id=gBa2GzyXCF8C&lpg=PR17&ots=qee3RsTC6V&dq=algebra%20%22extends%20arithmetic%22&pg=PR17#v=onepage&q=extends%20arithmetic&f=false page xvii]</ref> som kan håndtere beregninger af mere overordnet karakter, idet bestemte tal erstattes med mere generelle bogstaver, jf disse eksempler med variable:

#'''Variable kan symbolisere tal med ukendt værdi.''' Hvis fx temperaturen D en dag er 10 grader højere end temperaturen F den foregående dag, kan sammenhængen mellem temperaturerne beskrives som <math>D = F + 10</math>.<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{ISBN|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=jsT7kqZubvIC&lpg=PA48&ots=EI4_yaKasG&dq=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&pg=PA48#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&f=false page 48]</ref>
#'''Variable gør det muligt at beskrive et problem ''generelt'',<ref>Lawrence S. Leff, ''College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys'', Publisher: Barron's Educational Series, 2005, {{ISBN|0764129147}}, 9780764129148, 230 pages, [https://books.google.com/books?id=XesryURrNKAC&lpg=PA2&ots=Ga44CTvNHI&dq=algebra%20variables%20generalize&pg=PA2#v=onepage&q=algebra%20variables%20generalize&f=false page 2]</ref> uden at angive størrelsen af de tal som indgår.''' Man kan fx angive 5 minutter som <math>60 \times 5 = 300</math> sekunder. Et mere generelt algebraisk udtryk for antallet af sekunder er <math>s = 60 \times m = 60m</math>, hvor m er antal minutter.
#'''Variable gør det muligt at beskrive matematiske sammenhænge mellem størrelser som varierer.'''<ref>Ron Larson, Kimberly Nolting, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{ISBN|0547102275}}, 9780547102276, 622 pages, [https://books.google.com/books?id=U6v78M5nYKAC&lpg=PP1&ots=R0dl97lfm0&dq=%22elementary%20algebra%22%20relationships&pg=PA210#v=onepage&q=relationships&f=false page 210]</ref> Fx er sammenhængen mellem en [[cirkel]]s [[omkreds]] c og [[diameter]] d givet ved udtrykket <math>\pi = c /d</math>.
#'''Variable kan bruges til at beskrive matematiske egenskaber.''' Fx er det en grundlæggende egenskab ved addition, at den er [[Kommutativitet|kommutativ]], således at addendernes orden er ligegyldig, hvilket vha algebra kan skrives <math>(a + b) = (b + a)</math>.<ref>Charles P. McKeague, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2011, {{ISBN|0840064217}}, 9780840064219, 571 pages, [https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&lpg=PA49&ots=I16eebO3LV&dq=%22elementary%20algebra%22%20commutative&pg=PA49#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20commutative&f=false page 49]</ref>

==== Komplekse tal ====
[[Fil:Complex number illustration.svg|thumb|170px|Et [[Komplekse tal|komplekst tal]] kan opfattes som en vektor med komposanterne {{math|(''a'', ''b'')}} i en plan defineret ved to akser, hvor "Re" er den reelle del, mens "Im" er den imaginære del.]]
{{uddybende|Komplekse tal|Kompleks analyse}}
I 1500-tallet forsøgte italienske matematikere at finde rødder til tredje- og fjerdegradsligninger og stødte på det problem, at løsningerne i visse tilfælde indebar kvadratrødder af negative tal, hvilket er meningsløst.<ref name="GerickeDk">Helmuth Gericke (1994). ''Talbegrebets historie''. Oversat af Kirsti Andersen og Kate Larsen. Matematiklærerforeningen, [[Aarhus Universitet]]. {{ISBN|87-89229-66-5}}.</ref><ref name="Carstensen">Jens Carstensen. ''Komplekse tal''. Systime, 3. udgave 1995. {{ISBN|87 7783 412 7}}.</ref>{{rp|59}}Man søgte bl.a. efter en metode til at finde rødder i tredjegradsligninger af formen

:<math>x^3 = p \cdot x + q</math>

En sådan blev fundet, af både Scipione del Ferro omkring 1515, Niccolò Tartaglia i 1539 <ref name = "GerickeDk"/>{{rp|79}} og af Gerolamo Cardano i 1545:{{sfnp|Frandsen|1992|p=9}}

:<math>x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \sqrt[3]{q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}}</math>

Så længe udtrykket <math>(q/2)^2-(p/3)^3</math> er positivt, er der ikke problemer, men er det negativt, kan man ikke tage kvadratroden af det. Italieneren Rafael Bombelli fik dog den mærkelige ide at regne videre, selv når udtrykket under kvadratroden var negativt. Han kiggede på ligningen

:<math>x^3 = 15 \cdot x + 4</math>
som vha Cardanos formel kunne omskrives til
:<math>x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}</math>
Bombelli fandt nu en sammenhæng mellem udtrykkene <math>2 + \sqrt{-121}</math> og <math>(2 + \sqrt{-1})^3</math>, idet{{sfnp|Frandsen|1992|p=10}}

<math>(2 + \sqrt{-1})^3 = (2 + \sqrt{-1})^2(2 + \sqrt{-1}) = (4 + \sqrt{-1}^2 + 4\sqrt{-1})(2 + \sqrt{-1}) =</math>

<math>(3 + 4\sqrt{-1})(2 + \sqrt{-1}) = 6 + 3\sqrt{-1} + 8\sqrt{-1} + 4\sqrt{-1}^2 = 2 + 11\sqrt{-1} =</math>

<math>2 + \sqrt{-121}</math>,

samt tilsvarende

<math>2 - \sqrt{-121} = (2 - \sqrt{-1})^3</math>

og kunne nu indsætte i udtrykket ovenfor

:<math>x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} = 2 + \sqrt{-1} + 2 - \sqrt{-1} = 4</math>,

som er løsning til ligningen. Så på trods af, udregningerne indeholder meningsløse kvadratrødder af negative tal, kommer der et brugbart resultat ud af dem. Dette førte til, man indførte en såkaldt imaginær enhed

<math> \mathrm i = \sqrt{-1} \iff \mathrm i^2 = -1</math>

og ved hjælp af den en helt ny slags tal, de [[komplekse tal]] <math>\mathbb C</math>, der skrives på formen

:<math>z = a + b \cdot \mathrm i, \quad a \in \mathbb R, \; b \in \mathbb R</math>

Den franske filosof [[René Descartes]] tog afstand fra kvadratrødder af negative tal og indførte betegnelsen "imaginær" for dem i afhandlingen ''La Géométrie'' fra 1637.<ref name="Berg">Christian Berg (2004). [http://web.math.ku.dk/noter/filer/2kf-05.pdf "Kompleks funktionsteori"], Noter. Københavns Universitet, Matematisk Afdeling.</ref><ref name="Descartes">{{cite book|url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend|title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition|author=[[René Descartes]]|publisher=[[Dover Publications]]|year=1954|isbn=978-0-486-60068-0|page=|access-date=20. april 2011|orig-year=1637}}</ref> Det er dog hans betegnelse "imaginær" der i dag ligger til grund for valget af bogstav til tallet i.
{|class="wikitable" align="right" style="text-align:center; margin-left:0.5em;"
|+Multiplikationstabel for [[kvaternioner]]
|-
!width=15|×
!width=15|{{math|1}}
!width=15|{{math|'''i'''}}
!width=15|{{math|'''j'''}}
!width=15|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|1}}
|{{math|1}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|'''i'''}}
|{{math|'''i'''}}
| {{math|−1}}
|{{math|'''k'''}}
| {{math|−'''j'''}}
|-
!{{math|'''j'''}}
|{{math|'''j'''}}
| {{math|−'''k'''}}
| {{math|−1}}
|{{math|'''i'''}}
|-
!{{math|'''k'''}}
|{{math|'''k'''}}
|{{math|'''j'''}}
| {{math|−'''i'''}}
| {{math|−1}}
|}
Hvor de reelle tal <math>\mathbb R</math>, og deres delmængder, de naturlige tal <math>\mathbb N</math>, de hele tal <math>\mathbb Z</math> og de rationale tal <math>\mathbb Q</math> alle kan opfattes som punkter på en tallinje, skal de komplekse tal opfattes som punkter i en todimensionel talplan,{{sfnp|Frandsen|1992|p=19}} se figur. Med komplekse tal kan man udføre samme slags operationer som med reelle tal, dvs med de fire regningsarter. Addition af komplekse tal svarer fx til parallelforskydning i planet, mens multiplikation svarer til en drejning efterfulgt af en strækning omkring nulpunktet.{{sfnp|Frandsen|1992|p=16-25}} I modsætning til polynomier af reelle tal, som ikke nødvendigvis har rødder, har komplekse polynomier altid rødder, og således har et n-te gradspolynomium altid n rødder.{{sfnp|Frandsen|1992|p=41}}

Det komplekse talbegreb blev i midten af 1800-tallet af den irske matematiker [[William Rowan Hamilton|W.R. Hamilton]] udviklet til [[Kvaternioner|kvaternion]]-begrebet, hvor et tal kan opfattes som et punkt i et fire-dimensionelt rum:
:<math>a + b\ \mathbf i + c\ \mathbf j +d\ \mathbf k</math>

hvor {{math|''a'', ''b'', ''c''}} og {{math|''d''}} er reelle tal, mens  {{math|'''i''', '''j'''}} og {{math|'''k'''}} er kvaternion-enheder, se tabel.

==== Vektorer ====
[[Fil:Vector addition.svg|thumb|right|Addition of to vektorer '''a''' og '''b'''.]]
[[Fil:Scalar multiplication of vectors2.svg|thumb|right|Multiplikation af vektor '''a''' med tal, dels -1 og dels 2.]]
{{uddybende|Vektor (geometri)|Funktionalanalyse}}
Det er ofte hensigtsmæssigt at kunne regne med størrelser, som både angiver en størrelse og en retning, fx når [[Meteorologi|meteorologer]] laver kort over vindforhold eller når en [[flyveleder]] skal holde styr på flyene omkring en [[lufthavn]].{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=217}} Hertil anvender man [[vektor]]er, som gerne afbildes som pile, med en retning og længde. I matematisk notation bruges enten en pil over bogstavet eller fed skrift:  <math>\vec a= \bold a</math>

Regning med vektorer bruges mange steder inden for især [[fysik]] og [[Vektorgrafik|grafik]], og vektorbegrebet blev udviklet i første halvdel af 1800-tallet, i et samarbejde mellem matematikere og fysikere.<ref>[https://www.math.mcgill.ca/labute/courses/133f03/VectorHistory.html  History of Vectors, McGill]</ref>

Man kan regne med vektorer på nogenlunde samme måde som med tal, idet man kan lægge vektorer sammen, trække dem fra hinanden og gange dem med hinanden. Addition af to vektorer kan udføres geometrisk ved at tegne vektorerne op, så de ligger i forlængelse af hinanden, og summen bliver så den vektor, som er defineret af det tilsvarende [[parallelogram]], se figur. Ganges en vektor '''a''' med et tal (også kaldet en skalar) ''k'', fås en vektor ''k'''''a''', som er parallel med '''a''', har længden ''k''|'''a'''| og hvis retning i forhold til '''a''' er bestemt af, om ''k'' er positiv eller negativ. Skal man trække en vektor '''b''' fra en vektor '''a''', begynder man med at gange '''b''' med -1, og så lægge de to vektorer sammen: '''a''' - '''b''' = '''a''' + (-'''b'''){{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=220-226}}

Ofte vil man afbilde vektorer i et koordinatsystem, og nu kan vektorberegninger udføres med koordinater, enten vist som en søjle (kolonne):
:<math>\vec a={a_1 \choose a_2}</math>
eller en række af vektorkoordinater: 
<math> \vec a = [ a_1, a_2 ]  </math> eller <math>(a_1, a_2)</math>.
Tredimensionelle vektorer repræsenteres på lignende vis:
:<math> \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} </math>
Man kan også arbejde med vektorer i højere dimensioner, her en almen repræsentation af n-dimensionel vektor:
:<math> \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} </math>

==== Abstrakt algebra ====
{{uddybende|Gruppe (matematik)|Ring (matematik)|Legeme (algebra)}}

Som det er fremgået, er talbegrebet flere gange gennem matematikkens historie blevet udvidet: først brugte man kun [[Heltal|hele tal]], dernæst udvidede man med [[brøk]]er til [[rationale tal]], dernæst med [[Irrationale tal|irrationale]] tal til [[reelle tal]], dernæst med [[Kvadratrod|kvadratrødder]] af [[Positiv og negativ|negative tal]] til [[komplekse tal]]. Siden er også de firedimensionelle [[kvaternioner]] kommet til, for ikke at nævne de ottedimensionelle [[oktonioner]]. Det har faktisk vist sig principielt umuligt at konstruere et talbegreb som er tilpas omfattende til at beskrive alle tænkelige matematisk problemstillinger, og det er i det lys, den [[Abstrakt algebra|abstrakte algebra]] har udviklet sig.<ref name="Iversen">[https://denstoredanske.lex.dk/algebra Birger Iversen: algebra, i Den Store Danske på lex.dk. Hentet 23. august 2020]</ref>

I abstrakt algebra beskæftiger man sig overordnet med mængder og regneregler (kompositioner), fx en [[Binær operator|binær operation]] •, der ud fra to elementer m og n fra en given mængde konstruerer et nyt element m • n, som gerne må tilhøre samme mængde, men ikke nødvendigvis gør det. En sådan operation vil være underlagt regler analoge til dem, som gælder for sædvanlig addition eller multiplikation, mens naturen af det der kommer ud af operationen ikke nødvendigvis er kendt, især hvis de to elementer m og n ikke er af enkel natur.<ref name="Iversen"/>
{{Quote box |bgcolor=#90EE90 |salign=center|quote= '''Eksempel på matematisk struktur'''<br />
En [[Gruppe (matematik)|gruppe]] er en [[Mængde (matematik)|mængde]], fx de [[Heltal|hele tal]], som er udstyret med en regneregel <math>*</math> og som for vilkårlige elementer a, b og c opfylder disse tre [[aksiom]]er:<br />
1. Regnereglen er [[Associativitet|associativ]], dvs <math>a*(b*c) = (a*b)*c</math><br />
2. Der findes et neutralt element e, således at <math>a*e=e*a=a</math><br />
3. Der findes et inverst element a', således at <math>a*a'=a'*a=e</math>

Hvis vi kombinerer mængden af hele tal og regnereglen [[addition]], får vi en gruppe (Z,+):<br />
1. <math>a+(b+c) = (a+b)+c</math><br />
2. <math>a+e=e+a=a</math> (e er tallet 0)<br />
3. <math>a+a'=a'+a=e</math> (a' har modsat fortegn af a)

Får vi også en gruppe (Z, <math>\times</math>), hvis vi kombinerer mængden af hele tal med regnereglen [[multiplikation]]?<br />
1. <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math><br />
2. <math>a \times e=e \times a=a</math> (e er tallet 1)<br />
3. <math>a \times a'=a' \times a=e</math> (a' er den [[reciprok]]ke af a)

Nej, i regel 3 går det galt: den reciprokke værdi af et heltal er kun et heltal for tallet 1, så (Z, <math>\times</math>) er ikke en gruppe.<ref>Kjeldsen (2011), s. 116-118</ref>
|align=right|width=32em}}
Hvis man spiller [[Matador (brætspil)|matador]] med to terninger, står på plads k og fx slår m og n øjne, kan man enten først flytte m pladser og dernæst n pladser, eller omvendt, eller man kan flytte alle øjnene på en gang, igen på to måder, så der i alt er fire måder at nå sin nye plads på. Hvis man med <math>*</math> betegner den operation at flytte sin bil et antal pladser, bliver den nye plads nemlig enten<ref name="Iversen"/>

:<math>m*(n*k)</math> eller <math>n*(m*k)</math>, dvs den [[Associativitet|associative lov]] er opfyldt, eller

:<math>(m+n)*k</math> eller <math>(n+m)*k</math>, dvs den [[Kommutativitet|kommutative lov]] er opfyldt.

Algebra kan ofte knyttes til geometri, og undertiden også til fysiske objekter fra den virkelige verden. Fra geometrien kendes de fem regulære polyedre: [[tetraeder]], [[Heksaeder|hexaeder]], [[oktaeder]], [[dodekaeder]] og [[ikosaeder]]. Inden for krystallografi kan disse polyedre vha forskellige symmetrier underopdeles i 219 krystallografiske grupper, hvilket er et antal man også er nået frem til inden for abstrakt algebra. Dette er bemærkelsesværdigt i lyset af, at algebra ikke på nogen måde forholder sig til eller lader sig begrænse af den fysiske virkelighed. Lignende eksempler kan findes i [[kemi]], [[atomfysik]] og [[kvantemekanik]].<ref name="Iversen"/>
I abstrakt algebra arbejder man med overordnede strukturer, for eksempel:

* en '''[[Gruppe (matematik)|gruppe]]''' er en mængde med én tilknyttet binær operation, fx <math>(Z,+)</math>, mængden af hele tal og operationen addition, se tekstbox,
* en '''[[Ring (matematik)|ring]]''' er en mængde med to tilknyttede binære operationer, fx <math>(Q,\cdot,+)</math>, mængden af rationale tal og operationerne multiplikation og addition,
* et '''[[Legeme (algebra)|legeme]]''' er en mængde, hvorpå alle fire regnearter kan udføres.<ref name=Oxford>{{cite book
|title=The Oxford Mathematics Study Dictionary
|url=https://archive.org/details/oxfordmathematic0000taps_q1d1
|first1=Frank
|last1=Tapson
|publisher=Oxford University Press
|year=1996
|isbn=0-19-914551-2}}</ref>
De rationale tal, de reelle tal og de komplekse tal er alle eksempler på legemer.
{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Fil:Cayley graph of F2.svg|96px]] || [[Fil:Rubik's cube.svg|96px]] || [[Fil:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[Fil:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]] || [[Fil:Braid-modular-group-cover.svg|96px]]
|-
|[[Kombinatorik]] || [[Abstrakt algebra]] || [[Gruppeteori]] || [[Grafteori]] || [[Ordningsteori]] || [[Algebra]]
|}

=== Geometri ===
[[Fil:Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|[[Sekskant]] konstrueret på klassisk geometrisk vis vha passer og lineal.]]
Sammen med aritmetik er geometri en af matematikkens ældste discipliner. Geometri betyder landmåling, og netop nøjagtig landmåling var af stor vigtighed i de tidlige agerbrugsbaserede flodkulturer i Egypten og Mesopotamien: "Hvordan opdeler man en mark i lige store stykker? Hvordan prissætter man et stykke jord ud fra dets areal? Hvilken af disse to grunde ligger nærmest floden? Hvordan skal den kommende kanal planlægges, så den bliver så kort som muligt?"{{sfnp|Launay|2018|p=52}} I geometri undersøger man plane eller rumlige figurer mht størrelser, form, afstand og indbyrdes placering.<ref name="Risi2015">{{cite book|author=Vincenzo De Risi|title=Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age|url=https://books.google.com/books?id=1m11BgAAQBAJ&pg=PA1|date=31. januar 2015|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-12102-4|pages=1–}}</ref>

Studiet af rummet starter med studiet af [[geometri]], først den [[euklidisk geometri|euklidiske geometri]] og [[trigonometri]] i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til [[ikke-euklidisk geometri]] som spiller en central rolle i den [[generelle relativitetsteori]]. De moderne områder [[differentialgeometri]] og [[algebraisk geometri]] generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne [[koordinatsystem]]er, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. [[Gruppeteori]] undersøger på en abstrakt måde begrebet symmetri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. [[Topologi]] giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet [[kontinuitet]].{{kilde mangler|dato=september 2020}}
==== Syntetisk og analytisk geometri ====
Det var i [[oldtidens Grækenland]], geometrien blev udviklet til perfektion, som beskrevet i [[Euklids Elementer]] fra omkring 300 f.Kr. Helt frem til et stykke op i 1800-tallet var geometri stadig [[Euklidisk geometri|euklidisk]] og beskæftigede sig med [[punkt]]er, [[linje]]r, [[Cirkel|cirkler]], [[plan (matematik)|planer]], [[Afstandsformlen|afstande]], [[Vinkel|vinkler]], [[Areal|flader]] og [[kurve]]r som grundlæggende begreber.<ref name="Tabak 2014 xiv">{{cite book |last= Tabak|first= John|date= 2014|title= Geometry: the language of space and form|url= |location= |publisher= Infobase Publishing|page=xiv |isbn=978-0816049530}}</ref> Den græske matematiker Theaitetos studerede [[Regulært polyeder|regulære polyedre]], dvs. rumlige legemer sammensat af regulære og [[Kongruens|kongruente]] [[polygon]]er, og han opdagede, at der kun findes fem regulære polyedre, de såkaldte [[Platonisk legeme|platoniske legemer]]. Platon har lagt navn til legemerne, fordi han senere postulerede, de fire af legemerne symboliserede [[de fire elementer]], man dengang mente alt stof var sammensat af.{{sfnp|Launay|2018|p=72-73}}

<gallery caption="De fem [[Platonisk legeme|platoniske legemer]]:">
Fil:Tetraeder-Animation.gif|[[Tetraeder]]: 4 trekanter
Fil:Cube Animation.gif|[[Heksaeder]]: 6 kvadrater
Fil:Oktaeder-Animation.gif|[[Oktaeder]]: 8 trekanter
Fil:Dodekaeder-Animation.gif|[[Dodekaeder]]: 12 femkanter
Fil:Ikosaeder-Animation.gif|[[Ikosaeder]]: 20 trekanter
</gallery>
[[Fil:Polynomialdeg2.svg|thumb|Med rødt er i koordinatsystem vist [[parabel]]en fra andengradspolynomiet <math>y = x^2 - x - 2</math>]]
Hvor algebra og geometri i lange perioder af matematikkens historie ikke havde særligt meget med hinanden at gøre, sker der i løbet af 1600-tallet noget afgørende. Franskmanden Descartes udgav i 1637 en lærebog i geometri,<ref name="Descartes 1954"/> hvor han indførte [[koordinatsystem]]et og definerede planen med en x-akse henad og en y-akse opad. Hvor geometri tidligere udelukkende blev udført vha passer og lineal og i overensstemmelse med de euklidiske aksiomer, såkaldt klassisk eller syntetisk geometri, kunne de to områder nu knyttes tæt sammen, idet geometriske figurer kunne beskrives vha. algebraiske ligninger og [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]], de sidste opkaldt efter Descartes, se figur, og denne nye geometri kaldes [[analytisk geometri]].{{sfnp|Bertelsen|2010|p=18}}

Både geometrisk og algebraisk set er det nemt at gå fra at betragte et todimensionelt til et tredimensionelt koordinatsystem, svarende til man går fra at betragte plane til at betragte rumlige figurer. Geometrisk set er det derimod ikke nær så ligetil at gå videre, og betragte firedimensionelle legemer, mens dette uden videre lader sig gøre inden for algebra. Denne mulighed blev benyttet i [[Relativitetsteori|Einsteins relativitetsteori]], hvor den fjerde dimension er tiden.{{sfnp|Launay|2018|p=241}}

==== Ikke-euklidisk geometri ====
[[Fil:noneuclid.svg|left|thumb|400px|Parallelle linjer som de forløber i de tre forskellige geometrier.]]
Euklids geometri var baseret på et antal selvindlysende sandheder, eller [[aksiom]]er, som fx at "et linjestykke kan konstrueres ved at forbinde to vilkårlige punkter", eller "et linjestykke kan forlænges i det uendelige til begge sider". Men et af Euklids aksiomer voldte gennem lang tid matematikerne problemer, nemlig det såkaldte parallelpostulat: "Igennem et givet punkt kan man tegne én og kun én linje, som er parallel med et givet linjestykke."{{sfnp|Launay|2018|p=103-104}} Dette postulat var ikke så selvindlysende som Euklids øvrige aksiomer, og mange forsøgte at opstille et bevis for postulatet, først arabiske matematikere i 11. århundrede og senere europæiske matematikere gennem middelalderen og renæssancen.<ref>Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, in Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, pp. 447–494, [[Routledge]], London and New York: {{quote|"Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry, whose importance was completely recognized only in the nineteenth century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangle—which they considered assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse—embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines&nbsp;– made by [[Witelo]], the Polish scientists of the thirteenth century, while revising [[Ibn al-Haytham]]'s ''[[Book of Optics]]'' (''Kitab al-Manazir'')&nbsp;– was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the fourteenth century by the Jewish scholar [[Levi ben Gerson]], who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'' had stimulated borth J. Wallis's and G. [[Saccheri]]'s studies of the theory of parallel lines."}}</ref> Først omkring 1815 påviste [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] og Schweikart, uafhængigt af hinanden, at Euklids aksiom simpelthen ikke var korrekt, og fremlagde grundlaget for det, som Gauss kaldte [[ikke-euklidisk geometri]].<ref>Felix Klein, ''Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry'', Dover, 1948 (reprint of English translation of 3rd Edition, 1940. First edition in German, 1908) pg. 176</ref>

Denne nye geometri kunne deles i to, nemlig elliptisk geometri, hvor man undersøger figurer på en kugleflade, og hvor vinkelsummen i en trekant viser sig at være større end 180 grader, dels hyperbolsk geometri, hvor man undersøger figurer på konkave flader, fx en sadel, og hvor vinkelsummen i en trekant viser sig at være mindre end 180 grader.<ref>Ikke-euklidisk geometri, artikel i Raunkjærs Konversationsleksikon, bd. 6, sp. 46-47, Det danske Forlag, København 1950</ref>

==== Fraktaler ====
[[Fil:KochFlake.svg|thumb|left|De første fire iterationer af Kochs snefnug.]]
I begyndelsen af 1900-tallet opdagede man overraskende egenskaber ved simple geometriske figurer, hvis disse figurer blev ændret vha gentagne [[iteration]]er. Dette gælder fx [[Von Kochs snefnug|Kochs snefnug]], hvor hver af siderne i en ligesidet trekant i hver iteration dele i tre, hvor så det midterste stykke fjernes og erstattes af en ny mindre ligesidet trekant, se figur. Det viser sig, at i takt med man laver flere og flere iterationer går den fremkomne figurs areal mod 8/5 af den oprindelige trekants areal, mens omkredsen går mod uendelig. Her har man altså at gøre med en figur med endeligt areal, men uendelig stor omkreds.{{sfnp|Frandsen|1992|p=62-64}}
[[Fil:Julia set (highres 01).jpg|thumb|Afbildning af [[Juliamængden]] for c<sub>1</sub>=0,285 og c<sub>2</sub>=0,01.]]
Den franske matematiker [[Gaston Julia]] studerede i 1920-erne iterationer af komplekse andengradspolynomier af typen 
:<math>z_{n+1} = z_{n}^2+c</math>
og opdagede, at størrelsen af c er afgørende for, om de fremkomne talrækker 
:<math>z_0,z_1,z_2,...,z_n,z_{n+1},z_{n+2},...</math>
går mod uendelige eller endelige værdier. Efter ham er [[Juliamængden]] opkaldt, som er grænsen mellem talrækker der ved iteration går mod uendelig (divergerer) og talrækker der ikke går mod uendelig (konvergerer),{{sfnp|Frandsen|1992|p=58}}
se eksempel i figur. Julia og hans samtidige kollega P. Fatou var hæmmet af, det store regnearbejde ved disse studier skulle udføres i hånden, så da [[Benoit Mandelbrot]] 60 år senere genopdagede Fatous og Julias arbejde, i forbindelse med analyse af kaotisk støj inden for telekommunikation, kunne han bruge computerkraft til at videreføre deres tanker, med det som Mandelbrot nu kaldte [[fraktal]]er. {{sfnp|Frandsen|1992|p=103}} [[Mandelbrotmængden]] er en afbildning i den komplekse talplan af de værdier af c, opdelt i komponenterne
:<math>c=c_1+c_2i</math>
som adskiller konvergerende fra divergerende værdier. Mandelbrot benyttede i sine afbildninger oprindeligt kun farverne sort (for konvergerende c-værdier) og hvid (for divergerende c-værdier), men i 1980-erne fandt amerikaneren J.H. Hubbard på at farvelægge Mandelbrots hvide punkter efter, hvor mange iterationer der skulle til før talrækken divergerede, hvilket har afstedkommet de ofte meget smukke afbildninger af fraktaler.{{sfnp|Frandsen|1992|p=110}}

[[Fil:Lightning NOAA.jpg|thumb|left|Fraktaler i lyn.]]
En grundlæggende egenskab ved fraktaler er deres [[Selvsimilær|selv-similaritet]], det at deres former hele tiden gentages i mindre og mindre skala. Dette fænomen ses også mange steder i naturen, fx i floders erosionsmønstre eller et [[lyn]]s bane gennem luften, foruden i udformningen af mange planter, fx [[bregne]]blade og [[blomkål]]ens frugt. Mandelbrot stillede allerede i 1960-erne i en artikel spørgsmålet: Hvor lang er [[Storbritannien]]s kystlinje? Svaret afhænger selvfølgelig af, hvilket landkort man bruger til at måle kystlinjen ud fra, sådan at jo mere detaljeret kortet er, jo længere bliver kystlinjen, på samme måde som omkredsen af Kochs snefnug øges for hver ny iteration.{{sfnp|Frandsen|1992|p=128-130}}
{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|[[Fil:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[Fil:Sinusvåg 400px.png|96px]] || [[Fil:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[Fil:Torus.svg|96px]] || [[Fil:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96px]] 
|-
|[[Geometri]] || [[Trigonometri]] || [[Differentialgeometri]] || [[Topologi]] || [[Fraktal]]geometri
|}

=== Analyse og infinitesimalregning ===
[[Fil:Zeno Achilles Paradox.png|thumb|left|Ifølge [[Zenons paradoks]] vil den hurtige kriger Achilles i et væddeløb aldrig kunne indhente den langsomme skildpadde, for hver gang krigeren i løbet af et tidsrum er nået hen til hvor skildpadden var ved tidsrummets begyndelse, vil skildpadden have bevæget sig et stykke bort.]]
[[Fil:Binary system orbit q=10 e=0.5.gif|thumb|Skitse af planetbaner, fx komet omkring Solen. Solens [[tyngdekraft]] får [[planet]]en til at bevæge sig med varierende hastighed i en [[Ellipse (geometri)|elliptisk]] bane - og planeten, selv en komet, får faktisk også Solen til at flytte sig en ganske lille smule.]]
[[Fil:Sec2tan.gif|thumb|left|Den grønne [[Tangent (geometri)|tangent]] viser den røde kurves hældning i deres fælles punkt. Når afstanden mellem de to fælles punkter på den røde kurve og den blå [[sekant]]linje går mod 0, går den blå kurves hældning mod en [[Grænseværdi (matematik)|grænseværdi]], som er lig den grønne tangents hældning, idet de to linjer da falder sammen. - En sådan grænseværdi findes også i eksemplet med Achilles og skildpadden, nemlig det punkt, hvor Achilles indhenter skildpadden.]]
{{Uddybende|Infinitesimalregning}}
I begyndelsen af 1700-tallet påstod [[astronom]]en [[Edmund Halley]], på baggrund dels af den [[komet]] han selv så i 1682, dels af historiske optegnelser af kometpassager i 1531 og 1607, at der i alle tilfælde var tale om [[Halleys komet|den samme komet]], at den havde en omløbstid omkring [[solen]] på 76 år, og at den derfor ville vise sig igen i 1758.{{sfnp|Launay|2018|p=250-251}} Dette fik andre astronomer til at lave deres egne beregninger på, hvornår kometen ville vise sig, og et af problemerne var her at beregne placeringen af et himmellegeme som bevæger sig i en elliptisk bane og derfor aldrig bevæger sig med konstant hastighed, men enten hvert øjeblik øger sin hastighed, på vej ind mod solen, eller hvert øjeblik taber i hastighed, på vej væk fra solen, se figur.{{sfnp|Launay|2018|p=264-265}} Det skulle vise sig, at sådanne matematiske problemer med størrelser, som hele tiden ændrer sig, kunne løses, hvis man inddelte planetens bane i små intervaller, og lod størrelsen af intervallerne gå mod 0, såkaldte [[infinitesimal]]er. Så i infinitesimalregning regner man i princippet med uendeligt små størrelser - og dette har vist sig at have praktisk anvendelse inden for en lang række fagområder, ikke kun fysik og astronomi, men fx også økonomi.<ref>[https://denstoredanske.lex.dk/differentialregning  differentialregning, artikel af Jesper Lützen i denstoredanske]</ref>

==== Funktionsanalyse ====
[[Fil:Integral as region under curve.png|thumb|Graf for en funktion f(x), eksempelvis en bils hastighed y med tiden x. Med differentialregning kan man for et vilkårligt tidspunkt x beregne kurvens hældning, som vil svare til bilens acceleration til dette tidspunkt. Med integralregning kan man beregne arealet S, som vil svare til den tilbagelagte vejstrækning i tidsrummet fra a til b.]]
{{Uddybende|Funktion (matematik)|Funktionsanalyse (matematik)}}
Ved problemer som det ovennævnte er det nødvendigt at kende sammenhørende værdier for et (himmel-)legemes position eller hastighed til bestemte tidspunkter. Det var bl.a. med dette formål, man indførte begrebet [[Funktion (matematik)|matematisk funktion]]. Her knyttes to talmængder, definitionsmængden og værdimængden, sammen ved hjælp af en regneforskrift, som fører fra et element i definitionsmængden til et element i værdimængden;{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2010|p=145-147}} sagt med andre ord er definitionsmængden [[input]] og værdimængden output for regneforskriften. Man afbilder ofte funktionen som en [[graf]], se figur.

Analyse af funktioner er en vigtig disciplin, som også indgår i gymnasieelevers matematikundervisning. Man vil typisk analysere en funktion ved at kigge på dens graf, og undersøge{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2010|p=151-155}}
* hvad der er definitionsmængde og værdimængde for funktionen,
* hvor funktionen skærer koordinatsystemets akser,
* i hvilke intervaller funktionen er monoton, dvs. voksende eller aftagende, og om der er ekstremumspunkter (maksimale eller minimale værdier),
* om funktionen nærmer sig [[Asymptote|asymptotisk]] til akser eller linjer,
* om funktionen er [[symmetri]]sk, enten omkring en linje eller et punkt.

Blandt de simpleste funktioner er lineære funktioner af typen
:<math>f(x) = ax + b</math>
som fx kan bruges til at beskrive dagligdags situationer som hvor meget man gennem en bestemt periode skal betale i husleje eller p-afgift, idet <math>x</math> så er tiden, <math>a</math> er beløb pr måned eller minut, og <math>b</math> et evt depositium eller startgebyr. Lineære funktioner bruges ofte til at beskrive en sammenhæng mellem to variable, fx ud fra daglige målinger af udendørs temperatur og forbrug af fjernvarme eller ispinde.

Blandt de meget anvendte funktioner er [[Polynomium|polynomierne]], som generelt kan skrives
:<math>f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math>
hvor <math>a_n, a_n-1, \ldots, a_0</math> er konstanter, og <math>n, n-1</math> osv er heltal, mens <math>x</math> er den variable.<ref>{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-28|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> Nøjes man med de to sidste led i ovenstående, fås en lineær funktion, som altså kan betragtes som et såkaldt førstegradspolynomium. Tager man de tre sidste led, fås et [[andengradspolynomium]].

==== Differentialregning ====
[[Fil:Funktionsgraf med tangenter og differentialkvotient.jpg|thumb|Øverst grafen for en funktion f(x) og nederst grafen for dens differentialkvotient f'(x); den nederste kurve angiver hældningen af den øverste kurve, og krydser således x-aksen de tre steder, hvor den øverste kurve har vandret tangent (hældning = 0).]]
{{Uddybende|Differentialregning}}
{{Quote box |bgcolor=#90EE90 |salign=center|quote= '''Opgave i differentialregning'''<br />
En [[mobiltelefon]] tabes fra et [[vindue]] i et [[højhus]]. Hvor længe varer det, før mobilen rammer jorden 20 m længere nede? Og med hvilken [[hastighed]] sker det? 

[[Galileis faldlov]] udtrykker højden <math>y</math> som funktion af tiden <math>t</math>, idet <math>y_0</math> er starthøjden, og <math>g</math> er [[tyngdeacceleration]]en:{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=108}}
:<math>y(t)=y_0-\frac{1}{2}gt^2</math>
Ved at omarrangere ligningen er tiden altså givet ved:
:<math>t=\sqrt{\frac{2y_0}{g}}</math>
Indsættes <math>y_0=20</math> m og <math>g=9,8 </math> m/s<sup>2</sup>, fås
:<math>t=\sqrt{\frac{2\cdot 20\text{ m}}{9,8\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=2,02\text{ s}</math>
så mobilen falder til jorden på 2,02 sekunder. Hastigheden <math>v</math> fås ved at differentiere faldloven:
:<math>v=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-gt=-9,8 \text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2,02 \text{ s}=-19,8\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}</math>
så mobilen rammer jorden med hastigheden -19,8 m/s.|align=right|width=25em}}
Vil man fortsætte med at analysere en funktion, kan man undersøge grafens hældning i et bestemt punkt <math>x_0</math>, dvs hældningen af en [[Tangent (geometri)|tangent]], som rører grafen, se figur. Denne hældning angiver, hvorledes funktionen ændrer sig omkring punktet, og den kan beskrives med dette udtryk, hvor det græske bogstav <math>\Delta</math> bruges til at angive en (lille) ændring i funktionsværdien (y-værdien), <math>\Delta f(x)</math>, når man på x-aksen går det lille skridt fra <math>x_0</math> til <math>x</math> (<math>\Delta x</math>):{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=39}}

:<math>\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

Denne brøk kaldes for ''differenskvotienten'' for <math>f(x)</math> omkring <math>x_0</math>. Hvis funktionen <math>f(x)</math>, og dermed også dens graf, er sammenhængende og ikke knækker i <math>x_0</math>, vil differenskvotienten have en [[Grænseværdi (miljø)|grænseværdi]], når <math>x</math> går mod <math>x_0</math>, kaldet ''differentialkvotienten'' for <math>f(x)</math> i <math>x_0</math>:{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=39,47}}

:<math>f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

Når en sådan grænseværdi findes, siger man at funktionen <math>f(x)</math> er differentiabel i <math>x_0</math>, og funktionen <math>f'(x)</math> kaldes den ''afledede'' funktion til <math>f(x)</math>. Størrelsen <math>dx</math> er et i princippet uendeligt lille tal, en såkaldt [[infinitesimal]]. Et problem ved differentialregning er netop, at nævneren <math>x-x_0</math> i differenskvotienten går mod 0, når man skal udregne grænseværdien, og man kan jo ikke dividere med 0. For mange funktioners vedkommende er det dog muligt at omskrive differenskvotienten, så leddet <math>x-x_0</math> forsvinder fra nævneren, fx for funktionen <math>f(x)=x^2</math>:

<math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}</math>
<math>=\frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0</math>

Når <math>x</math> går mod <math>x_0</math>, går differenskvotienten for <math>x^2</math> således mod <math>2x_0</math>.{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=42}}

Eksempler på hyppigt brugte afledede funktioner er:{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=40,60}}
:<math>\frac{d(x^2)}{dx}=2x</math>
:<math>\frac{d(e^x)}{dx}=e^x</math>
:<math>\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}</math>

Man kan anvende de algebraiske regnearter på funktioner på samme måde som på tal, og differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=49-59}}

:<math>(k \cdot f)'(x) = k \cdot f'(x)</math> (konstant gange funktion)
:<math>(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> (sum af to funktioner)
:<math>(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)</math> (forskel mellem to funktioner)
:<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math> (produkt af to funktioner)
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}</math>(kvotient mellem to funktioner)
:<math>(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = g'(x) \cdot f'(g(x))</math> (sammensat funktion - kædereglen)<ref name="autogeneret1">http://olewitthansen.dk/Matematik/Differentialregning.pdf</ref><ref>[http://www.imm.dtu.dk/~jerf/02609/Slides/Uge02_differentialregning.pdf Differentialregning<!-- Botgenereret titel -->]</ref>

Regning med differentialkvotienter finder udstrakt anvendelse inden for [[fysik]], men bruges også inden for mange andre praktiske områder, fx optimering i forbindelse med arealudnyttelse eller materialeforbrug, eller inden for [[økonomi]] og [[psykologi]].{{sfnp|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011|p=97-111}}

==== Integralregning ====
{{Uddybende|Integralregning}}
En meget anvendt type funktionsanalyse er at bestemme arealet under funktionens graf. I den højre figur under afsnit [[#Funktionsanalyse|Funktionsanalyse]] herover, med en bils hastighed som funktion af tiden, vil arealet S svare til den tilbagelagte vejstrækning i tidsrummet a til b. Kurven kunne også repræsentere forbrug af fx vand, el eller varme pr tidsenhed, og arealet S ville så svare til det samlede forbrug i tidsrummet a til b. 
{{multiple image
<!-- Essential parameters -->| align = center
| direction = horizontal
| width = 300
<!-- Extra parameters -->| header = Stepvis integration af kontinuert funktion
| header_align = center
| header_background = 
| footer = 
| footer_align = 
| footer_background = 
| background color = 
| image1 = Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif
| width1 = 300
| caption1 = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Oversum <math>S=\sum_{ i = 1}^n K_i\cdot d_i</math></div>
| alt1 = Upper Darboux sum example
| image2 = Riemann Integration and Darboux Lower Sums.gif
| width2 = 300
| caption2 = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Undersum <math>s=\sum_{ i = 1}^n k_i\cdot d_i</math>{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=136}}</div>
| alt2 = Lower Darboux sum example
}}
På figuren herover er en sådan funktions areal under grafen tilnærmet med søjler med ens bredde <math>d_i</math>, dels med funktionsværdier <math>K_i</math> over grafen, som lagt sammen giver en såkaldt oversum <math>S</math>, dels med funktionsværdier <math>k_i</math> under grafen, som tilsvarende sammenlagt giver en såkaldt undersum <math>s</math>. I animationen gøres søjlerne efterhånden smallere og mere talrige, og man kan vise, at hvis funktionens graf er sammenhængende, eller [[Kontinuitet|kontinuert]], i intervallet fra a til b, så vil oversummer og undersummer efterhånden mødes i en grænseværdi kaldet ''integralet'' af funktionen <math>f</math> over intervallet fra a til b:{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=136-140}}
[[Fil:Fundamental_theorem_of_calculus_(animation_).gif|thumb|Animation af infinitesimalregningens hovedsætning; stamfunktion F øverst og afledet funktion f nederst.]]

:<math>s \leq \int_{a}^{b} f(x) \,dx \leq S</math>

Hvor summationstegnet <math>\textstyle \sum</math> symboliserer en sum af et endeligt antal elementer, symboliserer integraltegnet <math>\textstyle\int</math> (også kaldet et ''langt s'') således en sum af uendeligt mange elementer. Funktioner med denne egenskab kaldes ''integrable'' funktioner, og når man på denne måde integrerer en funktion <math>f</math>, vil man ofte kunne gøre det vha. en såkaldt [[stamfunktion]] <math>F</math>, idet integralet så er lig stamfunktionens tilvækst på intervallet a til b (se figur):{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=172-173}}

:<math>\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)</math>

Integrable funktioner hænger nøje sammen med differentiable funktioner, idet det at integrere en funktion er det modsatte af at differentiere den, hvilket er udtrykt i [[infinitesimalregningens hovedsætning]]. Når man differentierer en funktion <math>F</math>, fås differentialkvotienten <math>f</math>, og når man integrerer denne funktion <math>f</math>, fås igen stamfunktionen <math>F</math>. Ligesom i differentialregning gælder i integralregning visse regneregler for stamfunktioner:{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=168}}

:<math>\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx</math>

:<math>\int (f(x)-g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx</math>

:<math>\int k \cdot f(x)dx = k \int f(x)dx</math>

Integralerne i de tre linjer herover indeholder ikke grænser, fx a og b, og er såkaldt ''ubestemte'' integraler, i modsætning til integralerne i de to foregående linjer, som indeholder grænser og derfor er såkaldt ''bestemte'' integraler. Bestemte integraler er altså tal, nemlig arealer under funktionskurver, fx i et interval fra a til b, mens ubestemte integraler blot er regneforskrifter – som så kan bruges til udregning af sådanne arealer.{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=139,165}}

Mens det i differentialregning altid er muligt at opskrive et funktionsudtryk for en funktions diffentialkvotient, gælder dette i integralregning kun for visse funktioner, omend mange. Skal man integrere et produkt af to funktioner, kan det gøres således:{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=176}}

:<math>\int f(x) \cdot g(x)dx = F(x) \cdot g(x) - \int F(x) \cdot g'(x)dx</math> 

Og kædereglen for differentiation af sammensatte funktioner kan også bruges, hvis man skal finde frem til en stamfunktion, ved substitution:{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=178}}

:<math>\int f(g(x)) \cdot g'(x)dx = F(x)+c</math> 

Eksempler på hyppigt brugte stamfunktioner er:

:<math>\int cos(x)dx = sin(x)</math>
:<math>\int e^x dx = e^x</math>
Generelt gælder for brøker med en funktion <math>f</math> i nævneren og dens afledede i tælleren:
:<math>\int \frac {f'(x)}{f(x)}dx = ln(f(x))</math>

==== Differentialligninger ====
{{Uddybende|Differentialligning}}
Mange praktiske situationer kan beskrives kvantitativt vha en funktion og dens afledede funktion. Fx vil en kande med varm te jo efterhånden stå og blive afkølet. Fra fysikkens [[Termodynamik|varmelære]] vides, at afkølingens hastighed har at gøre med forskellen på teens [[temperatur]] og den omgivende lufts temperatur. Dette kan skrives{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=200}}
:<math>f'(t)= -k \cdot (f(t) - T_{luft})</math>
hvor <math>f(t)</math> er teens temperatur som funktion af tiden <math>t</math>, <math>f'(t)</math> er teens afkølingshastighed, fx målt i grader pr minut, <math>T_{luft}</math> er lufttemperaturen og <math>k</math> en proportionalitetskonstant, som bl.a. afhænger af luftens, tepottens og teens [[Specifik varmeledningsevne|varmeledningsevne]] og [[Varmekapacitet|varmefylde]]. I ligningen indgår altså både funktionen <math>f</math> og dens afledede <math>f'</math>, og en sådan ligning kaldes en differentialligning.

En hyppigt forekommende type af differentialligning er 
:<math>f'(t) = a \cdot f(t)</math>
som for <math>a>0</math> fx kan beskrive, hvordan størrelsen af en [[kapital]] indsat til bestemt [[rente]] vokser med tiden. Er <math>a<0</math>, kan ligningen fx beskrive henfald af stråling fra et [[Radioaktivitet|radioaktivt]] materiale. Man kan vise, at løsninger til ligningen er funktioner af typen<ref>[https://denstoredanske.lex.dk/differentialligning  differentialligning, artikel på lex.dk af Gerd Grubb]</ref>
:<math>f(t) = c \cdot e^{at}</math>
hvor <math>c</math> er en konstant og <math>e^{at}</math> er [[eksponentialfunktion]]en.

Skal man beskrive væksten af en population, af fx mennesker eller dyr, vil populationen jo vokse med en hastighed, der har at gøre med populationens størrelse, fx
:<math>y'=ky</math>
som giver eksponentiel vækst. Dette kan fint beskrive radioaktivt henfald, hvor antal radioaktive partikler går mod 0, eller forrentning af en kapital, hvor kapitalens størrelse med tiden går mod uendelig. Men i mange situationer vil der være grænser for væksten, fx som følge af, der kun er så og så meget plads eller mad til rådighed. Her må tallet <math>k</math> i udtrykket ovenfor aftage, efterhånden som populationen <math>y</math> vokser, fx lineært som <math>k = a(M-y)</math>, hvor <math>a</math> har at gøre med vækstraten og <math>M</math> (for maksimum) står for den øvre grænse for væksten. Differentialligningen kan så i stedet skrives

:<math>y'=\frac{dy}{dx}=ay(M-y)</math>

og man kan vise, at denne ligning har løsningen

:<math>y=\frac{M}{1+ce^{-aMx}}</math>

Denne ikke-eksponentielle form for vækst kaldes logistisk vækst.{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=226-229}}

I differentialligninger af typen 
:<math>y'=g(y)\cdot h(x)</math>
kan det svare sig at omskrive vha den symbolske brøk for differentialkvotient
:<math>\frac{dy}{dx} = g(y)\cdot h(x)</math>
Selvom udtrykket t.v. for lighedstegnet ikke er nogen egentlig brøk, har det vist sig, man godt kan regne med den som sådan, og omskrive ovenstående til
:<math>\frac{1}{g(y)}dy=h(x)dx \iff \int \frac{1}{g(y)}dy = \int h(x)dx</math>
Denne metode kaldes [[separation af de variable]].{{sfnp|Jessen m.fl.|1999|p=215-216}}

== Computernes indflydelse ==
For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament udviklede man områderne [[mængdeteori]], [[matematisk logik]] og [[modelteori]].

Da [[computer]]e i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne [[beregnelighed]] og [[informationsteori]]. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk [[datalogi]].

Foruden ved [[numerisk analyse]] har computere også hjulpet til ved emner som [[kaosteori]], som handler om at mange [[dynamiske systemer]] i naturen adlyder love, der gør, at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien.
Kaosteori er tæt forbundet med [[fraktal]] geometri.

== Se også ==
Nedenstående gruppering af emner repræsenterer én måde{{Bør uddybes|dato=2020}}{{kilde mangler|dato=maj 2020}}<!-- Hvem har defineret denne måde at gruppere? Hvilke andre måder findes? KILDER! --> at organisere matematikkens grene på.

=== Tal ===

: [[Tal]] – [[Naturlige tal]] – [[Heltal]] – [[Rationale tal]] – [[Reelle tal]] – [[Komplekse tal]] – [[Legeme (algebra)|Legemer]] – [[Kvaternioner]] – [[Oktonioner]] – [[Sedenioner]] – [[Hyperreelle tal]] – [[Surreelle tal]] – [[Ordinaltal]] – [[Kardinaltal]] – [[Heltalsfølge]] – [[Matematisk konstant|Matematiske konstanter]] – [[Talnavne]] – [[Uendelig]]
<!--
=== Ændring ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>36 : 9 = 4</math> || [[Fil:Integral as region under curve.png|96px]] || [[Fil:Vectorfield jaredwf.png|96px]] || <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math> 
|-
| [[Aritmetik]] || [[Infinitesimalregning]] || [[Vektoranalyse]] || [[Matematisk analyse|Analyse]]
|-
|| <math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> || [[Fil:Limitcycle.svg|96px]] || [[Fil:LorenzAttractor.png|96px]]
|-
|| [[Differentialligninger]] || [[Dynamiske systemer]] || [[Kaosteori]]
|}

: [[Infinitesimalregning]] – [[Vektoranalyse]] – [[Matematisk analyse]] – [[Differentialligninger]] – [[Dynamiske systemer]] – [[Kaosteori]] – [[Funktion (matematik)|Funktioner]]
-->
=== Struktur ===

: [[Algebraisk geometri]] – [[Matematisk analyse]] – [[Lineær algebra]] – [[Universel algebra]]

=== Diskret matematik ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>[1,2,3][1,3,2]</math><br /><math>[2,1,3][2,3,1]</math><br /><math>[3,1,2][3,2,1]</math> || [[Fil:Venn A intersect B.svg|96px]] || || [[Fil:Caesar3.svg|96px]] || [[Fil:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[Kombinatorik]] || [[Mængdeteori]] || [[Beregnelighed]] || [[Kryptologi]] || [[Grafteori]]
|}

: [[Kombinatorik]] – [[Mængdeteori]] – [[Sandsynlighedsregning]] – [[Statistik]] – [[Beregnelighed]] – [[Diskret matematik]] – [[Kryptologi]] – [[Grafteori]] – [[Spilteori]]

=== [[Anvendt matematik]] ===
: [[Mekanik]] – [[Numerisk analyse]] – [[Optimering (matematik)|Optimering]] – [[Sandsynlighed]] – [[Statistik]]

=== Diverse ===
[[Fil:VignetteEulerIdentity.svg|thumb|170px|Denne formel, kaldet [[Eulers identitet]], er kåret som matematikkens smukkeste.<ref name = "Wells1988">David Wells (1988). "Which is the most beautiful?". ''Mathematical Intelligencer''. '''10''' (4): 30-31. {{doi|10.1007/BF03023741}}.</ref>
<ref name = "Wells1990">David Wells (1990). "Are these the most beautiful?". ''Mathematical Intelligencer''. '''12'''(3): 37-41. {{doi|10.1007/BF03024015}}.</ref>]]
* [[Matematisk sætning]]
* [[Andengradsligning]]
* [[Tredjegradsligning]]
* [[Matematiker]]
* [[Matematisk skønhed]]
* [[Matematikkens historie]]
* [[Matematisk notation]]
* [[Königsbergs syv broer]]

== Litteratur ==
{{Quote box |quoted=true |bgcolor=#FFFFF0 |salign=center|quote= Når et skolebarn har lært at lægge naturlige tal sammen, dvs at [[Addition|addere]] dem, er det i stand til at forstå og ved afprøvning besvare spørgsmålet: ”Hvilket tal skal man lægge til 3 for at få 5?” Systematisk besvarelse af sådanne opgaver kræver dog, man indfører et nyt begreb: det at trække fra, eller [[subtraktion]]. Nu kan spørgsmålet stilles på denne måde: ”Hvad er 5 minus 3?” Straks man har defineret denne subtraktion, kan man også stille spørgsmålet: ”Hvad er 3 minus 5?” Nu føres man mod [[Negativt tal|negative tal]], og dermed ud over den grundlæggende regning.|source=– den tyske forfatter Heinz Duthel<ref>[https://books.google.dk/books?id=FOxfDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=da#v=onepage&q&f=false  Heinz Duthel (2018): Discover Entdecke Découvrir Astronomie - Apokalypse Der Weg in die Geheimnisse des Anfangs und des Ende: Einleitung in astronomische Beobachtungen. Grundlagenwissen über Teleskope und dessen Bedienung. 648 sider] {{ISBN|9783742734655}}</ref>|align=right|width=25em}}
=== Udenlandsk ===
* Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: ''The Mathematical Experience''. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
* Rusin, Dave: ''The Mathematical Atlas'', http://www.math-atlas.org {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20040403120115/http://www.math-atlas.org/ |date= 3. april 2004 }}. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
* Weisstein, Eric: ''World of Mathematics'', http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
* ''Planet Math'', http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger [[GNU Free Documentation License]], så det tillader importering til Wikipedia. Bruger [[TeX]] markup.
* Mathematical Society of Japan: ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.'' MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
* Michiel Hazewinkel (ed.): ''Encyclopaedia of Mathematics''. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
* Gullberg, Jan: ''Mathematics—From the Birth of Numbers''. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog
* {{cite book|title=Proofs from THE BOOK|author1=Aigner, Martin|author2=Ziegler, Günter|publisher=Springer-Verlag|year=2009|isbn=978-3-642-00855-9|edition=4.|location=Berlin, New York}}
* {{cite book |last=Kline |first=Morris |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |url-access=registration |location=New York |publisher=Oxford University Press |edition=Paperback |year=1990 |isbn=978-0-19-506135-2}}
* {{cite book |last=Oakley |first=Barbara |title=A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) |date=2014 |publisher=Penguin Random House |location=New York |url=https://archive.org/details/isbn_9780399165245|url-access=registration |quote=A Mind for Numbers. |isbn=978-0-399-16524-5 }}

=== Dansk ===
* {{cite book |author1= Aksel Bertelsen |title=Når matematikken slår rødder |date=2010 |publisher=Systime |location= |url=|url-access= |quote= |isbn=978-87-616-2628-8 }}
* [https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/68352833/8484.pdf Torben Braüner: ''Logikkens Muligheder og Grænser''. Aktuel Naturvidenskab, 6, 2006.]
* {{cite book|title=Komplekse tal og fraktaler|author1=Jesper Frandsen|author2=|publisher=Systime|year=1992|isbn=87-7783-188-8|edition=1.|location=}}
* {{cite book|title=Hvad er matematik|author1=Tinne Hoff Kjeldsen|author2=|publisher=Akademisk Forlag|year=2011|isbn=9788750041047|edition=1.|location=}}
* {{cite book|title=Den store fortælling om matematikken - fra forhistorisk tid til i dag|author1=Mickaël Launay|author2=|publisher=FADL's Forlag (oversat fra fransk)|year=2018|isbn=978-87-93590-03-8|edition=|location=}}
* {{cite book |author1=Henrik Kragh Sørensen |title=Tal, Tænkepauser nr 47 |date=2017 |publisher=Aarhus Universitet |location= |url=|url-access= |quote= |isbn=978-87-7124-502-8}}
==== Lærebøger ====
* {{wikicite|ref={{harvid|Kristensen|Rindung|1976}}|reference=Erik Kristensen og Ole Rindung (1976): ''Matematik 1'', G.E.C. Gads Forlag, 6. udgave, 260 sider, {{ISBN|87-12-47782-6}}.}}
* {{wikicite|ref={{harvid|Jessen m.fl.|1999}}|reference=Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk (1999): ''Vektorregning og integralregning'', gymnasiematematik niveau 3H, Gyldendal Uddannelse, 298 sider, {{ISBN|87-00-36966-7}}}}
* {{wikicite|ref={{harvid|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2010}}|reference=Morten Brydensholt og Grete Ridder Ebbesen (2010): ''Lærebog i matematik A1STX'', Systime, 312 sider, {{ISBN|978-87-616-9454-6}}.}}
* {{wikicite|ref={{harvid|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2011}}|reference=Morten Brydensholt og Grete Ridder Ebbesen (2011): ''Lærebog i matematik A2STX'', Systime, 356 sider, {{ISBN|978-87-616-9232-0}}.}}
* {{wikicite|ref={{harvid|Brydensholt|Ridder Ebbesen|2019}}|reference=Morten Brydensholt og Grete Ridder Ebbesen (2019): ''Lærebog i matematik A3STX'', Systime, 250 sider, {{ISBN|978-87-616-9356-3}}.}}

==== Formelsamlinger ====
* {{wikicite|ref={{harvid|Jensen|2015}}|reference=Bjarne Chr. Jensen (red., 2015): ''Teknisk Ståbi, kap. 1 Matematik'', 23. udgave, Praxis, Nyt Teknisk Forlag, s. 19-54, {{ISBN|978-87-571-2844-4}}.}}

== Noter ==
{{notelist}}
== Referencer ==
{{reflist}}

== Eksterne henvisninger ==
{{Commonskat|Mathematics}}
=== Opgaver ===
* [https://drive.google.com/file/d/0B-tJGSxxUF6sbnNJT0FfVHNYekk/view Aritmetik og købmandsregning på FVU] 
=== Ordbøger ===
* [https://mathvault.ca/math-glossary  The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon]
=== Generel ===
* [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram: Eric Weisstein's World of Mathematics]
* [http://math.furman.edu/~mwoodard/mquot.html Citater om matematik]
* [http://math.twoday.net/ Mathematische Kleinigkeiten (forældet side?)]
* [http://www.utm.edu/research/primes/ The Prime Pages] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030801082511/http://www.utm.edu/research/primes/ |date= 1. august 2003 }}
* [http://www.mathpuzzle.com/ MathPuzzle.com]

=== Historie ===
* [http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/egypt.html Egyptian Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20041013045726/http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/egypt.html |date=13. oktober 2004 }}
* [http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/ Noter til: Whitehead og Russell (1910-12): Principia Mathematica]
* [https://ugle.dk/kompleks.pdf Jørgen Ebert (1995): Komplekse tal - en historisk og aksiomatisk introduktion. Forlaget Minor]
{{Dagens_artikel | dato=11. oktober 2004}}

{{Lovende}}
{{autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematik| ]]
[[Kategori:Videregående uddannelser i Danmark]]
[[Kategori:Akademiske discipliner]]
[[Kategori:Folkeskolefag]]
[[Kategori:Gymnasiefag]]
[[Kategori:Formelle videnskaber]]