Se kilde til Ordnet legeme

Et '''ordnet legeme''' er et [[Legeme (algebra)|legeme]] <math>(L,+,\cdot)</math>, hvor der eksisterer en delmængde <math>L_+ \subseteq L</math> ("mængden af positive elementer"), så at de to følgende krav er opfyldt:

* Mængden <math>L_+</math> er ''lukket'' under addition <math>+</math> og multiplikation <math>\cdot</math>:
** <math>\forall x,y \in L_+ : x+y \in L_+ </math>
** <math>\forall x,y \in L_+ : x\cdot y \in L_+</math>
* For et vilkårligt element <math>x</math> i <math>L</math> gælder netop ét af følgende udsagn (dette kaldes [[trikotomi]]loven):
** <math>x \in L_+</math>
** <math>x = 0</math>
** <math>-x \in L_+</math>

Man kan herefter også definere eksempelvis mængden af negative elementer: <math>L_-:= L \setminus (L_+ \cup \{ 0\})</math>, og udlede nogle regneregler for eksempelvis addition og multiplikation af negative elementer.

== Total ordning ==

Hvis man nu definerer [[relation]]en <math>\leq</math> ved

<math>x \leq y \stackrel{def.}{\Leftrightarrow} y-x \in L_+</math>,

får man en [[total ordning]] på <math>L</math>. Det ses altså, at der er en nær forbindelse mellem opdeling i positive og negative elementer (og 0) og så, at finde en total ordning på en mængde.

== Eksempler ==

Eksempler på ordnede legemer er de [[rationale tal]] og de [[reelle tal]], hvor det umiddelbart er forståeligt, hvad de positive og negative elementer er.

[[Kategori:Ordningsteori]]