Se kilde til Varighed

'''Varighed''' af en [[obligation]] (eller anden betalingsrække) er et udtryk for obligationens [[renterisiko]] udtrykt ved prisændringen som funktion af en ændring i den effektive rente.

Varigheden ''V'' er udtrykt ved den partielt afledte af obligationens nutidsværdi, ''NV'', mht. (1 + ''r''), hvor ''r'' er obligationens [[effektiv rente|effektive rente]]:

<math>V 
= - \frac{\partial NV}{\partial (1+r)} \frac{1+r}{NV} 
= - \frac{\partial NV}{\partial r}     \frac{1+r}{NV}</math>

== Beregning ==
For [[inkonverterbar obligation|inkonverterbare obligationer]] kan varigheden beregnes som det vægtede gennemsnit af tiden til hver enkelt betaling, hvor tiden vægtes med betalingens [[nutidsværdi]].

Varigheden findes ved at beregne summen af nutidsværdien ''NV(Y<sub>t</sub>)'' af ydelsen ''Y<sub>t</sub>'' til tiden ''t'' multipliceret med ''t'' og derefter dividere denne sum med obligations samlede nutidsværdi:

<math>V = \frac{\sum{t \cdot NV(Y_t)}}{NV}</math>

Til beregning af nutidsværdierne kan enten benyttes den [[effektiv rente|effektive rente]] eller [[nulkuponrente]]r.

Benyttes den effektive rente, ''r'', er ''NV(Y<sub>t</sub>) = Y<sub>t</sub> / (1 + r)<sup>t</sup>''. Denne definition kaldes '''Macaulay-''' eller '''Redington-varighed'''.

Benyttes i stedet nulkuponrenter, beregnes værdien ''NV(Y<sub>t</sub>) = Y<sub>t</sub> / (1 + y<sub>t</sub>)<sup>t</sup>'', hvor ''y<sub>t</sub>'' er nulkuponrenten hørende til tiden ''t''. Denne definition af varighed kaldes '''Fisher-Weil-varighed'''.

=== Porteføljer ===
For en [[Obligation|portefølje]] af flere obligationer beregnes porteføljens varighed som gennemsnittet af hver enkelt obligations varighed vægtet med obligationens nutidsværdi. For varigheder beregnet vha. Fisher-Weil-definitionen gælder dette eksakt, mens det for Macauley-definitionen kun gælder approksimativt.

== Fortolkninger af varighed ==
=== Renterisiko ===
Da varigheden iflg. definitionen udtrykker prisen afledt mht. ''(1 + r)'', kan varigheden give et approksimativt udtryk for prisændringen ved en given (lille) ændring i den effektive rente (approksimativt, fordi pris-rentekurven er krum, og varigheden kun er den førsteordens afledte).

Hvis f.eks. varigheden af en obligation er 3, og den effektive rente stiger fra 5% til 7,1% svarende til en relativ ændring på ''(7,1% – 5%) / (1 + 5%) = 2%'', da vil den relative prisændring være

<math>\frac{\Delta NV}{NV} \approx - V \frac{\Delta (1 + r)}{1 + r} = - 3 \cdot 2\% = -6\%</math>.

En andet hyppigt anvendt størrelse er den såkaldt '''modificerede varighed''', der udtrykker den relative i prisen i forhold til den absolutte ændring i den effektive rente:

<math>MV = \frac{D}{1 + r}</math>

Den modificerede varighed udtrykker, at f.eks. for en obligation med en modificeret varighed på 3 vil en stigning i den effektive rente på 0,5 procentpoint give en prisændring på (approksimativt)

<math>\frac{\Delta NV}{NV} \approx - MV \cdot \Delta r = 3 \cdot 0,5\% = 1,5\%</math>

Endelig findes '''kursrisikoen''' også kaldet '''kronevarigheden''', der udtrykker den absolutte prisændring, dvs. målt i kroner (eller anden valuta). For en obligation på nominelt 100 kr. udtrykkes denne således:

<math>\$V = \frac{D}{1+r} \cdot \frac{NV}{100}</math>

For en obligation med ''$V = 4'', vil et rentefald på 1 procentpoint give en prisændringen på approksimativt <math>\Delta NV \approx - 100 \cdot \$V \cdot \Delta r = 100 \cdot 4 \cdot 1\% = 4 \mbox{ kr.}</math>.


De her nævnte approksimationer kan gøres bedre ved at inddrage prisfunktionens andenafledede. Denne størrelse kaldes '''konveksiteten'''. Mens varigheden udtrykker priskurvens hældning ved en given effektiv rente, er konveksiteten et udtryk for kurvens krumning. Konveksiteten er således et udtryk for, hvor meget varigheden ændrer sig ved ændringer i den effektive rente.

=== Løbetid ===
En anden fortolkning af varigheden er et mål for obligationens løbetid, dvs. som et gennemsnit af betalingstiderne. For inkonverterbare obligationer vil varigheden være ≤ løbetiden. Varigheden for en [[nulkuponobligation]] vil netop være lig med løbetiden.

Løst definereret er varigheden således et udtryk for, hvor hurtigt beløbet tilbagebetales. Eksempelvis vil et [[serielån]], der har de største ydelser i starten af lånets levetid, have en mindre varighed end et [[stående lån]] (med samme karakteristika), hvor der kun er små ydelser frem til den sidste termin, hvor [[hovedstol]]en tilbagebetales. For fastforrentede, inkonverterbare [[lån]] med samme karakteristika udover afdragsprofilen gælder generelt, at ''V<sub>serielån</sub> < V<sub>annuitetslån</sub> < V<sub>stående lån</sub> < V<sub>nulkupon</sub>''.

Jo højere den effektive rente er, jo mindre er nutidsværdien af betalingerne længst ude i fremtiden, og jo mindre vil varigheden således også være.

=== Immuniseringshorisont ===
Endelig kan varigheden opfattes som en immuniseringshorisont, dvs. et tidspunkt i fremtiden, hvor man er upåvirket af en renteændring her og nu. Hvis markedsrenterne stiger, vil obligationen falde i kurs, idet de fremtidige betalinger nu skal tilbagediskonteres med en højere rente. Til gengæld kan betalingerne geninvesteres til en højere rente, hvilket virker i modsat retning. De to effekter vil netop ophæve hinanden ved immuniseringshorisonten, idet nutidsværdien af obligationen vil være den samme, som hvis renterne ikke var steget. Hvis renterne således stiger til tiden ''t'' og derefter er uændrede resten af perioden, da vil kurstabet være tjent ind til tiden ''t + V''.

[[Kategori:Finansiel økonomi]]