D'Alembert-operatoren

Skabelon:Ingen kilder Skabelon:Lille bogstav D'Alembert-operatoren (symbol: $◻$) (eller boks-operatoren) er en differential-operator, der anvendes i bølgeteori, speciel relativitetsteori og elektromagnetisme. Operatoren optræder i Minkowski-rum i stedet for Laplace-operatoren og er opkaldt efter den franske matematiker og fysiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783).

Operatoren

Operatoren er givet ved følgende sammensætning af partielle afledte:

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

hvor $x$, $y$ og $z$ er de tre rumlige koordinater, $t$ er tiden, og $c$ er lysets hastighed. Vha. Laplace-operatoren ${\mathrm{\nabla }}^2$ kan dette også skrives som:

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$

Anvendelse

Bølger beskrives af bølgeligningen

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

hvor $u$ er bølgens forskydning. Med d'Alembert-operatoren kan dette skrives mere kompakt som:

$◻u=0$