Andengradsligning

Rødderne (løsningerne) til en andengradsligning med koefficienterne $a$, $b$ og $c$ kan sammenfattes i den viste ligning.

Ved en andengradsligning forstås en ligning på formen

$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0a,b,c\in ℝ,a\ne 0$

Størrelserne $a$, $b$ og $c$ kaldes andengradsligningen koefficienter og $x\in ℝ$ er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, $a\cdot x^2$ kaldes andengradsleddet, $b\cdot x$ er førstegradsleddet og $c$ er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten $a$ må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på $b$ og $c$. Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal $ℝ$, betegnes den ubekendte normalt $x$, men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal $ℂ$, betegnes den ubekendte normalt $z$:

$a\cdot z^2+b\cdot z+c=0a,b,c\in ℂ,a\ne 0$

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler

Ligning		Kommentar
$2.5\cdot x^2+23\cdot x+53=0$		$a=2.5,b=23,c=53$
$9\cdot x^2-66\cdot x+121=0$		$a=9,b=-66,c=121$
$7\cdot x^2-33\cdot x-10=0$		$a=7,b=-33,c=-10$
$7\cdot q^2-33\cdot q-10=0$		Samme ligning, blot med $q$ som ubekendt
$5-x=x^2$		$a=1,b=1,c=-5$ eller $a=-1,b=-1,c=5$
$x^4+3\cdot x^2-28=0$		"Iklædt" andengradsligning med $x^2$ som ukendt: $x^4=(x^2{)}^2$
$2\cdot \sqrt{3}\cdot x^2+(\sqrt{3}-6)\cdot x-3=0$		$a=2\cdot \sqrt{3},b=\sqrt{3}-6,c=-3$

Løsning af en andengradsligning

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

$p^2+2\cdot p\cdot q+q^2=(p+q{)}^2$

Vi skal nu prøve at identificere $p^2$ med andengradsleddet $a\cdot x^2$ og $2\cdot p\cdot q$ med førstegradsleddet $b\cdot x$. Imidlertid er $a\cdot x^2$ ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

		$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$		Den givne ligning
$\Updownarrow$
		$4\cdot a\cdot a\cdot x^2+4\cdot a\cdot b\cdot x+4\cdot a\cdot c=0$		Multiplikation med $4\cdot a$; lovligt, da $a\ne 0$
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x{)}^2+2\cdot (2\cdot a\cdot x)\cdot b+b^2-b^2+4\cdot a\cdot c=0$		Faktorisering og addition af $b^2-b^2$
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x+b{)}^2-b^2+4\cdot a\cdot c=0$		Anvendelse af første kvadratsætning.
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x+b{)}^2=b^2-4\cdot a\cdot c$		Konstantled flyttes til højre side
$\Updownarrow$
		$(2\cdot a\cdot x+b{)}^2=d$		Kombinationen af koefficienterne betegnes $d$

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

$d\equiv b^2-4\cdot a\cdot c$.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

$(2\cdot a\cdot x+b{)}^2=d$

Man skelner mellem følgende tre situationer:

	$d<0$	Venstre side er et kvadrat og derfor ikke-negativ.   Højre side er negativ.   Lighedstegnet er derfor ikke opfyldt.
		Andengradsligningen har ingen løsninger.
	$d=0$	$2\cdot a\cdot x+b=0$	Anvendelse af nulreglen.
		$x=-\frac{b}{2\cdot a}$	Lovlig division, da $a\ne 0$.
		Andengradsligningen har én løsning: $x=-\frac{b}{2\cdot a}$.
	$d>0$	$(2\cdot a\cdot x+b{)}^2-(\sqrt{d}{)}^2=0$	Diskriminanten omskrives til $d=(\sqrt{d}{)}^2$.
		$(2\cdot a\cdot x+b+\sqrt{d})\cdot (2\cdot a\cdot x+b-\sqrt{d})=0$	Tredje kvadratsætning benyttes.
		$(2\cdot a\cdot x+b+\sqrt{d}=0)\vee (2\cdot a\cdot x+b-\sqrt{d}=0)$	Anvendelse af nulreglen.
		$(2\cdot a\cdot x=-b-\sqrt{d})\vee (2\cdot a\cdot x=-b+\sqrt{d}=0)$	Led flyttes over.
		$(x=\frac{-b-\sqrt{d}}{2\cdot a})\vee (x=\frac{-b+\sqrt{d}}{2\cdot a})$	Lovlig division, da $a\ne 0$.
		Andengradsligningen har to løsninger: $x=\frac{-b-\sqrt{d}}{2\cdot a}$ og $x=\frac{-b+\sqrt{d}}{2\cdot a}$.

Eksempler på løsninger

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten $d$.

Ligning	Løsning
$2.5\cdot x^2+23\cdot x+53=0$	$d=23^2-4\cdot 2.5\cdot 53=-1.$ Ingen løsninger
$9\cdot x^2-66\cdot x+121=0$	$d=66^2-4\cdot 9\cdot 121=0.$ Én løsning: $x=\frac{66}{2\cdot 9}=\frac{11}{3}$
$7\cdot x^2-33\cdot x-10=0$	$d=(-33{)}^2-4\cdot 7\cdot (-10)=1369=37^2.$ To løsninger: $(x=\frac{33-37}{14})\vee (x=\frac{33+37}{14})\iff$ $(x=-\frac{2}{7})\vee (x=5)$
$x^2+x-5=0$	$d=1^2-4\cdot 1\cdot (-5)=21.$ To løsninger: $(x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\approx -2.791288)\vee$ $(x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\approx 1.791288)$
$x^4+3\cdot x^2-28=0$	$d=3^2-4\cdot 1\cdot (-28)=121=11^2.$ $(x^2=\frac{-3-11}{2}=-7)\vee (x^2=\frac{-3+11}{2}=4)\iff$ $x^2=4\iff (x=-2)\vee (x=2)$
$2\cdot \sqrt{3}\cdot x^2+(\sqrt{3}-6)\cdot x-3=0$	$d=(\sqrt{3}-6{)}^2-4\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot (-3)$ $=3+36-12\cdot \sqrt{3}+24\cdot \sqrt{3}$ $=39+12\cdot \sqrt{3}=(6+\sqrt{3}{)}^2$ $(x=\frac{-\sqrt{3}+6-6-\sqrt{3}}{4\cdot \sqrt{3}}=\frac{-2\cdot \sqrt{3}}{4\cdot \sqrt{3}})\vee$ $(x=\frac{-\sqrt{3}+6+6+\sqrt{3}}{4\cdot \sqrt{3}}=\frac{12}{4\cdot \sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$ $(x=-\frac{1}{2})\vee (x=\sqrt{3})$

Normeret andengradsligning

Da $a\ne 0$, kan enhver andengradsligning divideres igennem med $a$, hvorved den får formen

$x^2+s\cdot x+t=0s,t\in ℝ$

Ligningen siges nu at være normeret. En normeret andengradsligning med to rødder $p$ og $q$ kan ifølge nul-reglen skrives på formen

$(x-p)\cdot (x-q)=0$

eller

$x^2-(p+q)\cdot x+p\cdot q=0$

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

$p+q=-s$		Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
$p\cdot q=t$		Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen $x^2+9\cdot x+14=0$ er konstantleddet lig $14$, der kan være produktet af $1$ og $14$, $2$ og $7$ samt $-1$ og $-14$ og $-2$ og $-7$. Da summen skal være $-9$, må rødderne være $-2$ og $-7$.

Numerisk beregning af rødder

Med ovenstående formler er andengradsligningen $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$ løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser $-b-\sqrt{d}$ og $-b+\sqrt{d}$. Hvis

$-b=0.12345678901234$

$\sqrt{d}=0.12345678901233$

så bliver differensen

$-b-\sqrt{d}=0.00000000000001$

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er $x_1\cdot x_2=c/a$. Algoritmen bliver derfor følgende:

• Beregn diskriminanten $d$, der her antages positiv.

• Hvis $b\geqq 0$, så er både $-b$ og $-\sqrt{d}$ negative: Sæt $x_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2\cdot a}$ og $x_2=\frac{c}{a\cdot x_1}$.

• Hvis $b<0$, så er både $-b$ og $\sqrt{d}$ positive: Sæt $x_2=\frac{-b+\sqrt{d}}{2\cdot a}$ og $x_1=\frac{c}{a\cdot x_2}$.

Eksempel:

Andengradsligningen

$x^2-(10^n+10^{-n})\cdot x+1=0n\in \mathbb{N}$

er konstrueret til at have de eksakte rødder $10^n$ og $10^{-n}$. Dens diskriminant er

$d=10^{2\cdot n}-2+10^{-2\cdot n}$.

Vælges $n=3$, fås ligningen $x^2-1000.001\cdot x+1=0$ og diskriminanten $d=999998.000001$.

Tabellen herunder viser, hvilke resultater man når frem til med de "matematiske" formler for $x_1$ og $x_2$ og den "numeriske" formel for $x_1$, såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

$n$	$b$	$b^2$	$d$	$\sqrt{d}$	$-b-\sqrt{d}$	$-b+\sqrt{d}$	$x_1$ Klassisk	$x_2$ Klassisk	$x_1$ Fra $x_2$
$1$	$-10.1$	$102.010$	$98.01$	$9.9$	$0.200000$	$20$	$0.1$	$10$	$0.1$
$2$	$-100.01$	$10002$	$9998.00$	$99.99$	$0.02001$	$200$	$0.01$	$100$	$0.01$
$3$	$-1000$	$1000000$	$999996$	$999.998$	$0.00200000$	$2000$	$0.001$	$1000$	$0.001$
$4$	$-10^4$	$10^8$	$10^8$	$10^4$	$0$	$20000$	$0$	$10000$	$0.0001$
$5$	$-10^5$	$10^{10}$	$10^{10}$	$10^5$	$0$	$200000$	$0$	$100000$	$0.00001$

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed

En andengradsulighed er et åbent udsagn af typen

$a\cdot x^2+b\cdot x+c<0$

$a\cdot x^2+b\cdot x+c\leqq 0$

$a\cdot x^2+b\cdot x+c>0$

$a\cdot x^2+b\cdot x+c\geqq 0$

hvor $a,b,c\in ℝ,a\ne 0$.

Løsningsmængden $L$, dvs. samlingen ef $x$-værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$ og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium $P(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$.

Eksempler på andengradsuligheder

Eksempel 1

$x^2+6\cdot x+5<0$

Den tilhørende andengradsligning $x^2+6\cdot x+5=0$ ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne $-5$ og $-1$. Sættes $x=0$, fås resultatet $+5$, der ikke er mindre end nul.

Fortegnsaksen viser nulpunkter og fortegnsvariation for andengradspolynomiet $P(x)=x^2+6\cdot x+5$.

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden $L$ kan nu aflæses:

$x^2+6\cdot x+5<0\Rightarrow L=]-5;-1[$

Eksempel 2:

$x^2+6\cdot x+5\leqq 0\Rightarrow L=[-5;-1]$

Eksempel 3:

$x^2+6\cdot x+5>0\Rightarrow L=]-\mathrm{\infty };-5[\cup ]-1;+\mathrm{\infty }[$

Eksempel 4:

Grafer $𝒫$ og $𝒬$ for de to andengradspolynomier $P(x)=x^2+6\cdot x+5$ og $Q(x)=\frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{47}{4}$. Løsningsmængden til andengradsuligheden $P(x)<0$ er vist med et rødt lijestykke. Løsningsmængden til uligheden $P(x)>Q(x)$ er vist med to blå halvlinjer.

$x^2+6\cdot x+5\geqq \frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{47}{4}$

Uligheden omskrives til standardform:

$4\cdot x^2+24\cdot x+20\geqq x^2+47\Rightarrow 3\cdot x^2+24\cdot x-27\geqq 0\Rightarrow x^2+8\cdot x-9\geqq 0$

Andengradsligningen $x^2+8\cdot x-9=0$ har rødderne $-9$ og $1$, og da udtrykkets værdi for $x=0$ er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

$L=]-\mathrm{\infty };-9[\cup ]1;+\mathrm{\infty }[$.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

$P(x)=x^2+6\cdot x+5$ og$Q(x)=\frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{47}{4}$

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke $x$-værdier grafen for $P$ ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke $x$-værdier grafen for $P$ ligger over eller på grafen for $Q$.