Ellipsoide

En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D-analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Beskrivelse

Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser a, b og c

Omdrejnings-ellipsoide (sfæroide) med to ens halv-akser (a) og en tredje halv-akse (c) som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis c er mindre end a, og prolat hvis c større end a.

Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:

• $a>b>c$ — tri-aksial ellipsoide
• $a=b>c$ — oblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
• $a=b<c$ — prolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
• $a=b=c$ — trivial tilfældet, en kugle

Rumfang

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

$V=\frac{4}{3}\pi abc$

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er

$S=2\pi c^2+\frac{2\pi ab}{\sin \varphi }(E(\varphi ,k){\sin }^2\varphi +F(\varphi ,k){\cos }^2\varphi ),$

hvor

$\cos \varphi =\frac{c}{a},k^2=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},a\ge b\ge c,$

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektive. DLMF: §19.2 Definitions Skabelon:Webarchive

For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

$S_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}}=2\pi a^2(1+\frac{1-e^2}{e}{\tanh }^{-1}e)\text{hvor}{e}^2=1-\frac{c^2}{a^2}(c<a).$

$S_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}}=2\pi a^2(1+\frac{c}{ae}{\sin }^{-1}e)\text{hvor}{e}^2=1-\frac{a^2}{c^2}(c>a).$

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.

Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden

• Prolat-lignende: Bolden i rugby og amerikansk fodbold.
• Oblat-lignende: Grapefrugt, klassisk afrundet pille, planeter (herunder Jorden) samt de fleste dværgplaneter.
• Triaksial-lignende: Dværgplaneten Haumea, der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.

Benævnelser

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).

Ellipsoider i kartografi

Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.