N'te rod

Rødder af heltallene fra 0 til 10.

I matematik er den n'te rod af et tal x de tal r, som opløftet til potensen n giver x, hvor n er et positivt heltal

$r^n=x,$

eller

r = $\sqrt[n]{x}$,

hvor n er graden af roden. En rod af anden grad kaldes kvadratroden, en rod af tredjegrad kaldes kubikrod. Rødder af højere grad er beskrevet ved hjælp af ordenstal, som i fjerde rod, tyvende rod, osv.

Eksempel:

• 2 er kvadratroden af fire, siden 2² = 4
• -2 er kvadratroden af fire, da (-2)² = 4

Udtrykket $\sqrt[n]{x}$ er opfundet af Michel Rolle.

Et reelt tal eller komplekst tal har n rødder af graden n. Mens rødderne af 0 ikke adskiller sig (alle er lig 0), er de n n'te rødder af ethvert reelt eller komplekst tal forskelligt fra 0 alle forskellige.

Man skelner følgende tilfælde for værdier af n og x:

• Hvis n er lige, og x er reel og positiv, er en af dens n'te rødder rødder positiv, en er negativ, og resten er enten ikke-eksisterende (i det tilfælde, hvor n = 2) eller komplekse. Den positive n'te rod kaldes den principale rod.
• Hvis n er lige, og x er reel og negativ, da er ingen af de n'te rødder er reelle.
• Hvis n er ulige, og x er reel, da er en n'te rod reel og har samme fortegn som x, mens de andre rødder er komplekse.
• Endelig, hvis x er ikke reel, så er ingen af dens n'te rødder er reelle.

Rødder skrives normalt ved hjælp af rodtegnet eller radix $\sqrt{}$ eller $\surd$, med $\sqrt{x}$ eller $\surd x$ angives den principale kvadratrod, $\sqrt[3]{x}$ angiver kubikroden, $\sqrt[4]{x}$ angiver den principale fjerde rod, og så videre. I udtrykket $\sqrt[n]{x}$, n kaldes rodeksponent, $\sqrt{}$ er rodtegnet eller radix , og x kaldes radikanden eller grundtallet. For reelle tal er rodtegnet en funktion, som entydigt bestemmer en værdi. Dette opnås ved at bruge den principale værdi når n er lige.

I infinitesimalregning behandles rødder som særlige tilfælde af potens, hvor eksponenten er en brøk: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

Rødder er særligt vigtige i teorien om uendelige rækker; rodkriteriet kan bruges til at afgøre om en uendelig række med reelle ikke-negative led konvengerer og fastlægger konvergensradius i potensrækker. N'te rødder kan også defineres for komplekse tal, og de komplekse rødder for 1 (enhedsrod) spiller i vigtig rolle i højere matematik. Galois-teori kan bruges til bestemme, som algebraiske tal der kan udtrykkes hjælp rødder, og at bevise Abel-Ruffinis sætning, hvori det hedder at et generel polynomium af grad fem eller højere ikke kan løses ved hjælp af rødder alene; dette resultat er også kendt som "femtegradsligningens uløselighed".

Algoritme til bestemmelse af n'te rod

For at beregne $\sqrt[n]{A}$ kan følgende algoritme anvendes:

1. Lav et første gæt $x_0$ (desto nærmere $\sqrt[n]{A}$ desto hurtigere konvergerer algoritmen).
2. $x_{k+1}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$
3. Gentag trin 2, indtil den ønskede nøjagtighed er nået

Udledning

Algoritmen kan udledes af Newton-Raphsons metoden.

$\sqrt[n]{A}=x\iff x^n-A=0$

Vi søger altså løsningen til

$f(x)=x^n-A=0$

Iterationsformelen bliver

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}=x_k-\frac{x_k^n-A}{n\cdot x_k^{n-1}}=\frac{n\cdot x_k^n-(x_k^n-A)}{n\cdot x_k^{n-1}}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$

Eksempel

Beregning af $\sqrt[3]{25}$

Løsningen ligger mellem 2 og 3, første gæt sættes til 2,5

$x_1=2,5$: $x_2=3,00000000$: $x_3=2,92592596$; $x_4=2,92401898$

Efter tre iterationer er nøjagtigheden bedre end 0,000001, da $\sqrt[3]{25}=2,924017738...$