Boltzmanns entropiformel

Boltzmanns entropiformel er inden for den statistiske mekanik en central formel, der forbinder et systems entropi $S$ med antallet af mulige mikrotilstande $\mathrm{\Omega }$.

$S=k_{\text{B}}\ln \mathrm{\Omega }$

hvor $\ln$ er den naturlige logaritme, mens $k_{\text{B}}$ er en proportionalitetskonstant kaldet Boltzmanns konstant. Formlen gælder, når hver mikrotilstand er lige sandsynlig.

Udledning

Ligningen kan udledes fra Gibbs' entropiformel

$S=-k_{\text{B}}\sum _i{P}_i\ln P_i$

som er fysikkens version af Shannons entropiformel fra informationsteori. Mikrotilstanden $i$ har sandsynligheden $P_i$, men for Boltsmanns formel skal alle $\mathrm{\Omega }$ mikrotilstande være lige sandsynlige, så:

$P_i=\frac{1}{\mathrm{\Omega }}$

Dette indsættes i Gibbs' formel:

$\begin{array}{cc}S& =-k_{\text{B}}\sum _i^{\mathrm{\Omega }}\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)\\ S& =-k_{\text{B}}\mathrm{\Omega }\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)\\ S& =-k_{\text{B}}(-\ln \mathrm{\Omega })\\ S& =k_{\text{B}}\ln \mathrm{\Omega }\end{array}$

Dermed er Boltzmanns entropiformel blevet udledt.