Lagrange-multiplikator

Illustration af et optimeringsproblem med to variable $x$ og $y$ og med en sidebetingelse. Den røde kurve er betingelsen $g$. De blå kurver er derimod konturer for funktionen $f$. Det ses, at punktet, hvor rød og blå tangerer, er det optimale punkt.

En Lagrange-multiplikator bruges til at finde ekstrema - dvs. maksimum eller minimum - for en funktion givet en til flere sidebetingelser.

Metoden

$f$ kan være en funktion af $N$ variable $x_1$, $x_2$... og $x_N$. Sidebetingelsen kan formuleres som en funktion $g$, der skal være lig med nul:

$g(x_1,x_2,...,x_N)=0$

Funktionen $f$ er maksimeret eller minimeret uden sidebetingelse, når gradient er nul:

$\mathrm{\nabla }f(x_1,x_2,...,x_N)=0$

hvor $\mathrm{\nabla }$ er nabla-operatoren. Dvs. at alle hældninger mht. alle variable skal være nul.

For at indføre sigebetingelsen benyttes det, at de to funktioner skal røre hinanden tangentielt som illustreret i figuren. Da en gradient er vinkelret på en konturlinje. Vil det sige, at de to gradienter skal være parallelle:

$\mathrm{\nabla }f\parallel \mathrm{\nabla }g$

hvilket også kan skrives som en proportionalitet:

$\mathrm{\nabla }f\propto \mathrm{\nabla }g$

Dvs. at en ny størrelse kan defineres, hvis gradient skal være nul:

$\mathrm{\nabla }[f+\lambda g]=0$

Her er $\lambda$ en proportionalitetskonstant kaldet en Lagrange-multiplikator. Denne ligning giver et ligningssystem, som kan løses.