Ormelignende kæde

Den ormelignende kæde (engelsk: worm-like chain (WLC)) er en matematisk model, der beskriver en relativt stiv polymers konformationer.

Modellen

Den ormelignende kæde er en kontinuer linje, hvor hvert punkt er beskrevet med en position og en tangentiel vektor.

I modellen beskrives en polymer som en linje, hvor hvert punkt $s$ langs polymeren har en position i rummet samt en tangentiel vektor $\overrightarrow{t}(s)$, der angiver linjens orientering i det punkt. I et andet punkt $u$ har linjen også en orientering $\overrightarrow{t}(u)$; da polymeren er stiv, vil orienteringerne være stortset ens, hvis $u$ er tæt på $s$, mens orienteringerne er fuldstændigt ukorrelerede, hvis $u$ er langt på $s$. For et gennemsnit af alle mulige konformationer vil prikproduktet mellem de to tangentielle vektorer altså være henholdsvis 1 og 0:

$⟨\overrightarrow{t}(s)\cdot \overrightarrow{t}(u)⟩=\{\begin{array}{cc}1& \text{for }|u-s|=0\\ 0& \text{ for }|u-s|\to \mathrm{\infty }\end{array}$

Dette er korrelationsfunktionen, og det antages, at faldet fra 1 til 0 er eksponentielt:

$⟨\overrightarrow{t}(s)\cdot \overrightarrow{t}(u)⟩={\mathrm{e}}^{-\frac{|u-s|}{l_{\mathrm{p}}}}$

hvor $l_{\mathrm{p}}$ er persistenslængden, der er den karakteristiske afstand for korrelationen mellem to punkter i polymeren. Det ses, at stivere polymere har større persistenslængder.

Den samlede vektor $\overrightarrow{R}$ fra den ene ende af polymeren til den anden er blot givet ved integralet langs hele polymerens kædelængde $L$:

$\overrightarrow{R}=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\overrightarrow{t}(s)\mathrm{d}s$

Fordi den samlede polymer kan være orienteret i en hvilken som helst retning, er gennemsnittet af $\overrightarrow{R}$ lig med nul. For at finde et mål for polymerens udstrækning benyttes i stedet den gennemsnitlige kvadrerede værdi, da den ikke kan være negativ:

$⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩=⟨(\underset{0}{\overset{L}{\int }}\overrightarrow{t}(s)\mathrm{d}s)\cdot (\underset{0}{\overset{L}{\int }}\overrightarrow{t}(u)\mathrm{d}u)⟩=⟨\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}\overrightarrow{t}(s)\cdot \overrightarrow{t}(u)\mathrm{d}s\mathrm{d}u⟩=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}⟨\overrightarrow{t}(s)\cdot \overrightarrow{t}(u)⟩\mathrm{d}s\mathrm{d}u=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{|u-s|}{l_{\mathrm{p}}}}\mathrm{d}s\mathrm{d}u$

Pga. den absolutte værdi kan integralerne skrives som

$⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩=2\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{u}{\overset{L}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{|u-s|}{l_{\mathrm{p}}}}\mathrm{d}s\mathrm{d}u=2\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{0}{\overset{L-u}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{l_{\mathrm{p}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}u$

hvilket giver:

$⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩=2\underset{0}{\overset{L}{\int }}{[-l_{\mathrm{p}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{l_{\mathrm{p}}}}]}_0^{L-u}\mathrm{d}u=2l_{\mathrm{p}}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{L}{l_{\mathrm{p}}}}{\mathrm{e}}^{\frac{u}{l_{\mathrm{p}}}})\mathrm{d}u=2l_{\mathrm{p}}(L-l_{\mathrm{p}}{\mathrm{e}}^{-\frac{L}{l_{\mathrm{p}}}}({\mathrm{e}}^{\frac{L}{l_{\mathrm{p}}}}-1))=2l_{\mathrm{p}}L(1-\frac{l_{\mathrm{p}}}{L}(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{L}{l_{\mathrm{p}}}}))$

Hvis kædelængden er meget større end persistenslængden, reducerer udtrykket til:

$⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩=2l_{\mathrm{p}}L$

hvilket vil sige, at root-mean-square-længden er:

$\sqrt{⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩}=\sqrt{2l_{\mathrm{p}}L}$

Det ses, at polymerens udstrækning vokser med kvadratroden af kædelængden. Dvs at lange polymerer har tendens til at krølle sig sammen; denne tilstand kaldes for en polymer coil. Det ses desuden, at skaleringsloven minder om den ideelle kæde

$\sqrt{⟨{\overrightarrow{R}}^2⟩}=\sqrt{aL}$

hvor $a$ er længden af hvert enkelt led i den ideelle kæde. Ved sammenligning ses det, at den ormelignende kæde har samme størrelse som den ideele kæde, hvis

$a=2l_{\mathrm{p}}$

Denne længde kaldes for Kuhn-længden, og for den ormelignende kæde er Kuhn-længden altså lig med den dobbelte persistenslængde.

Tilsvarende er gyrationsradiussen $R_{\mathrm{G}}$ derfor givet ved:

$R_{\mathrm{G}}=\sqrt{\frac{aL}{6}}=\sqrt{\frac{l_{\mathrm{p}}L}{3}}$

Den gennemsnitlige afstand til massemidtpunktet stiger altså også med kvadratroden af kædelængden.