Indre produkt

Skabelon:Ingen kilder Et indre produkt er i matematikken en funktion $f:V\times V\to ℝ$ eller $f:V\times V\to ℂ$, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien $f(𝐮,𝐯)$ skrives dog normalt $⟨𝐮,𝐯⟩$.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $⟨r𝐮+s𝐯,𝐰⟩=r⟨𝐮,𝐰⟩+s⟨𝐯,𝐰⟩$ og $⟨𝐮,r𝐯+s𝐰⟩=r⟨𝐮,𝐯⟩+s⟨𝐮,𝐰⟩$.
2. $⟨𝐮,𝐯⟩=⟨𝐯,𝐮⟩$.
3. $⟨𝐯,𝐯⟩\ge 0$ og $⟨𝐯,𝐯⟩=0\iff 𝐯=\mathrm{𝟎}$.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på ${ℝ}^n$, defineret ved

$𝐮\cdot 𝐯=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i$,

hvor $𝐮=(u_1,u_2,\dots ,u_n{)}^T$ og $𝐯=(v_1,v_2,\dots ,v_n{)}^T$.

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $⟨z𝐮+w𝐯,𝐰⟩=z⟨𝐮,𝐰⟩+w⟨𝐯,𝐰⟩$ og $⟨𝐮,z𝐯+w𝐰⟩=\bar{z}⟨𝐮,𝐯⟩+\bar{w}⟨𝐮,𝐯⟩$.
2. $⟨𝐮,𝐯⟩=\overline{⟨𝐯,𝐮⟩}$.
3. $⟨𝐯,𝐯⟩\ge 0$ og $⟨𝐯,𝐯⟩=0\iff 𝐯=\mathrm{𝟎}$.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.