Herons formel

Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet $A$ af en trekant med siderne $a$, $b$ og $c$:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

hvor $s$ er trekantens halve omkreds, dvs.

$s=\frac{a+b+c}{2}$

I specialtilfældet $a=b=c$ (ligesidet trekant), fås

$A=\sqrt{\frac{3a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$

i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.

Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.

Historie

Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.

Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:

$A=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2\cdot c^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2}$

Bevis

På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant $ABC$, som ved hjælp af højden $h$ er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden $b$ i to dele med længderne $x$ og $b-x$.

Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:

For trekanten til venstre for højden:

$h^2+x^2=c^2\iff h^2=c^2-x^2$

For trekanten til højre for højden:

$h^2+(b-x{)}^2=a^2\iff h^2=a^2-(b-x{)}^2$

Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig $h^2$. Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver

$\begin{array}{cc}{c}^2-x^2& =a^2-(b-x{)}^2\iff \\ c^2& =a^2-(b-x{)}^2+x^2\end{array}$

Nu er $c^2$ blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:

$\begin{array}{cc}{c}^2& =a^2-(b-x{)}^2+x^2\iff \\ c^2& =a^2-(b^2+x^2-2\cdot b\cdot x)+x^2\iff \\ c^2& =a^2-b^2-x^2+2\cdot b\cdot x+x^2\iff \\ c^2& =a^2-b^2+2\cdot b\cdot x\end{array}$

Den sidste ligning skrives nu om, så $x$ er isoleret:

$\begin{array}{cc}{c}^2& =a^2-b^2+2\cdot b\cdot x\iff \\ -2\cdot b\cdot x& =a^2-b^2-c^2\iff \\ x& =\frac{a^2-b^2-c^2}{-2\cdot b}\iff \\ x& =\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b}\end{array}$

For at regne videre med dette $x$, "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:

$h=\sqrt{c^2-x^2}$

Ved at erstatte $x$ med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:

$\begin{array}{cc}h& =\sqrt{c^2-x^2}\iff \\ h& =\sqrt{c^2-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b}\right)}^2}\iff \\ h& =\sqrt{c^2-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2\cdot b)}^2}}\end{array}$

For at få $c^2$ "bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med ${(2\cdot b)}^2$:

$c^2=\frac{c^2\cdot {(2\cdot b)}^2}{{(2\cdot b)}^2}=\frac{{(2\cdot b\cdot c)}^2}{{(2\cdot b)}^2}$

Ved at erstatte $c^2$ i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:

$\begin{array}{cc}h& =\sqrt{c^2-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2\cdot b)}^2}}\\ & =\sqrt{\frac{{(2\cdot b\cdot c)}^2}{{(2\cdot b)}^2}-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2\cdot b)}^2}}\\ & =\sqrt{\frac{{(2\cdot b\cdot c)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2\cdot b)}^2}}\\ & =\frac{\sqrt{{(2\cdot b\cdot c)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2\cdot b}\end{array}$

Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at $a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$ til at omskrive denne del af udtrykket:

$\begin{array}{cc}h& =\frac{\sqrt{{(2\cdot b\cdot c)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{(2\cdot b\cdot c+(b^2+c^2-a^2))\cdot (2\cdot b\cdot c-(b^2+c^2-a^2))}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{(2\cdot b\cdot c+b^2+c^2-a^2)\cdot (2\cdot b\cdot c-b^2-c^2+a^2)}}{2\cdot b}\end{array}$

I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke $2\cdot b\cdot c+b^2+c^2$, som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til $(b+c{)}^2$. I udtrykket for højden $h$ kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:

$\begin{array}{cc}h& =\frac{\sqrt{(2\cdot b\cdot c+b^2+c^2-a^2)\cdot (2\cdot b\cdot c-b^2-c^2+a^2)}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{({(b+c)}^2-a^2)\cdot (2\cdot b\cdot c-b^2-c^2+a^2)}}{2\cdot b}\end{array}$

Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at

$2\cdot b\cdot c+b^2+c^2=(b+c{)}^2\iff 2\cdot b\cdot c-c^2-b^2=-(c-b{)}^2$

og så kan udtrykket for $h$ forenkles på denne måde:

$\begin{array}{cc}h& =\frac{\sqrt{({(b+c)}^2-a^2)\cdot (2\cdot b\cdot c-b^2-c^2+a^2)}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{({(b+c)}^2-a^2)\cdot (a^2-{(c-b)}^2)}}{2\cdot b}\end{array}$

Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:

$\begin{array}{cc}h& =\frac{\sqrt{({(b+c)}^2-a^2)\cdot (a^2-{(c-b)}^2)}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{((b+c)+a)\cdot ((b+c)-a)\cdot (a+(c-b))\cdot (a-(c-b))}}{2\cdot b}\\ & =\frac{\sqrt{(b+c+a)\cdot (b+c-a)\cdot (a+c-b)\cdot (a-c+b)}}{2\cdot b}\end{array}$

I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.

Højden $h$ er tegnet ud fra grundlinjen $b$, og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal $A$ som:

$A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot b$

Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for $h$ ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}\cdot h\cdot b\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{(b+c+a)\cdot (b+c-a)\cdot (a+c-b)\cdot (a-c+b)}}{2\cdot b}\cdot b\\ & =\frac{\sqrt{(b+c+a)\cdot (b+c-a)\cdot (a+c-b)\cdot (a-c+b)}}{4}\end{array}$

Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:

$\begin{array}{cc}A& =\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},s=\frac{a+b+c}{2}\iff \\ A& =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot (\frac{a+b+c}{2}-a)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-b)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-c)}\end{array}$

For at få hhv. $-a$, $-b$ og $-c$ "bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:

$\begin{array}{cc}A& =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot (\frac{a+b+c}{2}-a)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-b)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-c)}\\ & =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot (\frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot a}{2})\cdot (\frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot b}{2})\cdot (\frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot c}{2})}\\ & =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{a+b+c-2\cdot a}{2}\cdot \frac{a+b+c-2\cdot b}{2}\cdot \frac{a+b+c-2\cdot c}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot \frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{(a+b+c)\cdot (b+c-a)\cdot (a+c-b)\cdot (a+b-c)}{16}}\\ & =\frac{\sqrt{(a+b+c)\cdot (b+c-a)\cdot (a+c-b)\cdot (a+b-c)}}{4}\end{array}$

Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.