Taylorpolynomium

Skabelon:Kilder Et Taylorpolynomium er en metode inden for matematikken til at tilnærme en funktion med et approksimerende polynomium.

Formlen er fundet af den britiske matematiker Brook Taylor omkring 1715.

sin(x) og det approksimerende taylorpolynomium af orden 5

Formel

Formlen for et $n$'te-gradspolynomium, der approksimerer funktionen, $f(x)$, ud fra et givent fixpunkt, $x_0$, ser ud som:

$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

Eller skrevet lidt mere kompakt:

$P_n(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i$

Hvor $f^{(i)}$ er den $i$'te afledte funktion af $f$, og $i!$ er fakultetet af $i$. Generelt vil højere værdi af $n$ give en bedre approksimation. Det lykkedes imidlertid den tyske matematiker Carl Runge at fremstille et modeksempel, som gør approksimationen værre ved større $n$. Dette er bedre kendt som Runges fænomen.

Taylors grænseformel

Taylors grænsefomel er en metode hvormed det bliver muligt at bestemme grænseværdier ved hjælp af Taylorpolynomier.

Under den antagelse, at funktionen $f(x)$ er n gange differentiabel i det givne interval, samt at punktet man ønsker undersøgt er en del af dette interval, gælder følgende regel:

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+(x-x_0{)}^nϵ(x-x_0)$

hvor $ϵ(x-x_0)\to 0$ for $x\to x_0$

I denne formel repræsenterer det sidste led, også kaldet epsilon-funktionen, en funktion der går hurtigere mod nul end $(x-x_0{)}^n$. Det har ikke den store betydning, hvordan epsilon-funktionen ser ud; blot det ovenstående gælder, som udnyttes, når man finder frem til grænseværdien.

Eksempler

Det approksimerende polynomium for $e^x$ viser sig at være et af de simpleste eksempler indenfor approksimerende Taylorpolynomier, så længe man bruger 0 som udviklingspunkt. Dette er som følge af, at $e^x$ differentieret giver sig selv. Det betyder, at uanset hvor mange gange man differentierer, vil differentialkvotienten altid være 1. Her vises princippet for at finde Taylorpolynomiet af 4. grad.

$f(x)=f^{\prime }(x)=f^{″}(x)=f^{‴}(x)=f^{(4)}(x)=\cdots ={\text{e}}^x$

Som så medfører:

$f(0)=f^{\prime }(0)=f^{″}(0)=f^{‴}(0)=f^{(4)}(0)=\cdots =1$

Når det ovenstående indsættes i formlen, fås følgende polynomium:

${\text{e}}^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}$

Se også

• Analytisk funktion
• Lille vinkel