Mellemværdisætningen

Illustration af mellemværdisætningens betydning.

Mellemværdisætningen er en matematisk sætning, der beskriver hvordan en reel kontinuert funktion, $f$, defineret på det lukkede interval fra $a$ til $b$ vil antage alle værdier mellem $f(a)$ og $f(b)$.

Sætningen er vigtig, idet den kan benyttes som argument for eksistensen af en række reelle tal. Eksempelvis kan eksistensen af $\sqrt{2}$ påvises ved betragtning af funktionen $f:[0;\mathrm{\infty }[\to ℝ$ givet ved $f(x)=x^2-2$. Funktionen antager både negative og positive værdier, og må således have et nulpunkt. Punktet i hvilket funktionsværdien 0 antages kaldes så $\sqrt{2}$.

Formel beskrivelse

Lad $f:[a;b]\to ℝ$ være en kontinuert funktion, og $d$ være et reelt tal mellem $f(a)$ og $f(b)$. Da eksisterer et tal $c\in ]a;b[$, så $f(c)=d$.