Uegentligt integral

Et uegentligt integral er indenfor matematikken en bestemt type af integraler, som kort sagt beskæftiger sig med uendeligheder.

Der findes to forskellige typer af uegentlige integraler:

• Ubegrænset mængde (intervalet er uendeligt)
• Ubegrænset integrand (funktionen der integreres over antager uendeligt store værdier)

Definition

Den første type uegentlige integral skrives

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,$

og siges at være konvergent, hvis funktionen $F$ defineret ved

$F(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

har en endelig grænseværdi for $b\to \mathrm{\infty }$. Er det tilfældet tilskrives integralet grænseværdiens værdi, hvilket skrives

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(b)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Hvis $F(b)$ omvendt er divergent for $b\to \mathrm{\infty }$ tilskrives integralet ingen værdi.

Den anden type uegentlige integral fremkommer i situationen, hvor en funktion $f:]a,b]\to ℝ$ betragtes. I analogi med det foregående skrives integralet

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

og det siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved

$F(c)=\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

har en grænseværdi for $c\to a^{+}$ (hvor der her med $c\to a^{+}$ menes "$c$ gående $a$ fra højre".) Integralet tilskrives som før grænseværdiens værdi og skrives

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{c\to a^{+}}{\lim }F(c)=\underset{c\to a^{+}}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

og som før siges integralet at være divergent, hvis $F(c)$ divergerer for $c\to a^{+}$.

Eksempler

Et eksempel på den første type med ubegrænset mængde kunne være nedenstående.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\text{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

Et eksempel på det andet tilfælde, altså ubegrænset integrand, kunne være nedenstående hvor der skal lægges mærke til at der integreres fra nul hvor funktionen ikke er defineret.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2}\text{d}x$

Lad os betragte et eksempel, der viser den egentlige fremgangsmåde, nemlig integralet

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^3}dx.$

Benyttes definitionen, fås at

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^3}\text{d}x=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x^3}\text{d}x=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{-1}{2x^2}\right]}_1^t=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2t^2})=\frac{1}{2}.$

Integralet vil med de angivne grænser altså være konvergent med værdien ½.