Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden, som også kaldes indsættelsesmetoden, er en metode indenfor matematikken til at løse $n$ ligninger med $n$ ubekendte. Således vil man kunne løse ligninger opstillet således:

$l_{1} : c_{1, 1} x_{1} + c_{1, 2} x_{2} + c_{1, 3} x_{3} \dots + c_{1, n} x_{n} = k_{1}$

$l_{2} : c_{2, 1} x_{1} + c_{2, 2} x_{2} + c_{2, 3} x_{3} \dots + c_{2, n} x_{n} = k_{2}$

$l_{3} : c_{3, 1} x_{1} + c_{3, 2} x_{2} + c_{3, 3} x_{3} \dots + c_{3, n} x_{n} = k_{3}$

$⋮$

$l_{n} : c_{n, 1} x_{1} + c_{n, 2} x_{2} + c_{n, 3} x_{3} \dots + c_{n, n} x_{n} = k_{n}$

, hvor ${c_{i, j} | i, j = 1, 2, 3 \dots n}, {k_{i} | i = 1, 2, 3 \dots n}$ betegner vilkårlige konstanter og ${x_{i} | i = 1, 2, 3 \dots n}$ betegner de variable.

Dog vil løsning af $n$ ligninger med $n$ ubekendte nemmest og hurtigst kunne løses vha. matematikkens lineær algebra.

Eksempel

Vi forsøger her med et eksempel:

Der er givet to ligninger af følgende form:

Ligning 1: $3 x + 2 y = 4$

Ligning 2: $4 x + 3 y = 7$

Ifølge metoden isoleres først x i ligning 1:

$3 x + 2 y = 4 \Leftrightarrow 3 x = - 2 y + 4 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{3} y + \frac{4}{3}$

Dette indsættes nu i ligning 2:

$4 x + 3 y = 7 \Leftrightarrow 4 (- \frac{2}{3} y + \frac{4}{3}) + 3 y = 7 \Leftrightarrow - \frac{8}{3} y + \frac{16}{3} + 3 y = 7 \Leftrightarrow$

$\frac{16}{3} - 7 = - \frac{1}{3} y \Leftrightarrow - \frac{5}{3} = - \frac{1}{3} y \Leftrightarrow \frac{- 5}{3} / \frac{- 1}{3} = \frac{- 5 \cdot 3}{3 \cdot - 1} = \frac{- 5}{- 1} = y \Leftrightarrow y = \underline{\underline{5}}$

Dette kan nu sættes tilbage i udtrykket vi havde for x:

$x = - \frac{2}{3} y + \frac{4}{3} = - \frac{2}{3} \cdot 5 + \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} + \frac{4}{3} = \underline{\underline{- 2}}$

Således bliver koordinatsættet i det punkt, hvor de linjer, som beskrives af de 2 ligninger, mødes, altså slutteligt til: $p_{s} = \underline{\underline{(- 2, 5)}}$

Substitutionsmetoden

Eksempel

Navigationsmenu

Søg