Planprodukt

Planproduktet, også betegnet determinanten, er et begreb inden for matematikken, nærmere betegnet vektorregning. Planproduktet er en skalar, der udelukkende er defineret for vektorer i planen, og er lig arealet af det udspændte parallelogram regnet med fortegn. Fortegnet angiver, om parret af vektorer er positivt eller negativt orienteret. Planproduktet noteres undertiden med [ , ] . Formlen for planproduktet mellem to vektorer er angivet nedenfor.

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\det (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\det \left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right)=a_1{b}_2-a_2{b}_1.=\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \sin (\theta )$

— hvor $\theta$ er vinklen fra $\overrightarrow{a}$ til $\overrightarrow{b}$. Planproduktet er således et andet navn for determinanten af 2 vektorer.

Resultatet af planproduktet er et tal (skalar) ligesom prik/skalarproduktet, modsat krydsproduktet, hvor resultatet er en vektor. Planprodukt og prikprodukt er relaterede ved formlerne

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\hat{a}\bullet \overrightarrow{b}$

og

$\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=[\overrightarrow{a},\hat{b}].$

Planprodukt og prikprodukt kan således defineres ud fra hinanden ved hjælp af tværvektor.

Planproduktet er en alternerende bilinearform, idet $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}]$ for alle vektorer $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$. I 2 dimensioner er enhver alternerende bilinearform er proportional med planproduktet.

Se også

• Vektorprodukt