Præordning

Matematisk Præordning vil sige en præordnet mængde, som er en mængde med en relation $\le$, som angiver hvilket af to elementer der er størst.

Egenskaber

For at relationen $\le$ skal kaldes en præordning skal den have følgende egenskaber:

Refleksivitet

• $x\le x$.

Transitivitet

• $x\le y$ og $y\le z$ medfører $x\le z$.

Vigtige krav

De vigtigste typer af præordninger er givet ved at forlange at et af følgende krav er opfyldt:

Symmetri

En præordning siges at være symmetrisk dersom $x\le y$ medfører $y\le x$. En symmetrisk præordning kaldes en ækvivalensrelation. Lighedstegn, ligedannethed og ensbetydende er eksempler på ækvivalensrelationer.

Antisymmetri

En præordning siges at være antisymmetrisk dersom $x\le y$ og $y\le x$ medfører $x=y$. En antisymmetrisk præordning kaldes en ordning

Vilkårlig præordning

For en vilkårlig præordning $\le$ kan man definere en ækvivalensrelation ved at sætte $x\equiv y$ netop hvis $x\le y$ og $y\le x$. Da definerer $\le$ en ordning af ækvivalensklasserne.