Jævn cirkelbevægelse

Jævn cirkelbevægelse er en bevægelse med konstant vinkelhastighed i konstant afstand fra et omdrejningspunkt. Jorden udfører med god tilnærmelse en jævn cirkelbevægelse omkring Solen.

Kinematisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Hvis man indlægger et sædvanligt koordinatsystem med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er positionsvektoren som funktion af tiden givet ved

$\overrightarrow{r}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x(t)}{y(t)})=r(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos (\omega t)}{\sin (\omega t)})$

hvor $r$ er radius i cirkelbevægelsen, $\omega$ er vinkelhastigheden, og $t$ er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden $\tau$:

$\tau =\frac{2\pi }{\omega }$

Hastigheden i den jævne cirkelbevægelse findes ved differentiation mht. tiden:

$\overrightarrow{v}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{v_x(t)}{v_y(t)})={\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)=\omega r(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\sin (\omega t)}{\cos (\omega t)})$

Det fremgår heraf, at hastigheden står vinkelret på positionsvektoren, og at farten er givet ved:

Accelerationen i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht. tiden:

$\overrightarrow{a}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_x(t)}{a_y(t)})={\overrightarrow{v}}^{\prime }(t)={\overrightarrow{r}}^{″}(t)=-{\omega }^{2}r(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos (\omega t)}{\sin (\omega t)})$

Det fremgår heraf, at accelerationen er parallel med positionsvektoren og rettet ind mod centrum af bevægelsen. Der ses endvidere, at accelerationens størrelse er:

$a={\omega }^{2}r$

Jf. ligning Skabelon:EquationNote er det det samme som:

Dynamisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Pga. lign. Skabelon:EquationNote er impulsens størrelse givet ved:

$p=mv=m\omega r$

hvor $m$ er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse.

Af Newtons anden lov og lign. Skabelon:EquationNote følger, at størrelsen på kraften i den jævne cirkelbevægelse er givet ved

$F=ma=m{\omega }^{2}r$

Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandigt retning. Den peger ind mod centrum og kaldes derfor centripetalkraften.

Kraftmomentet er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af, at kraftvektoren er parallel med positionsvektoren. Som konsekvens heraf er impulsmomentet bevaret. Størrelsen på impulsmomentet $L$ er konstant og lig med:

$L=rp=m\omega r^2$

Den kinetiske energi i en jævn cirkelbevægelse er givet ved:

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{2}=\frac{I{\omega }^2}{2}=\frac{L^2}{2m{r}^2}=\frac{L^2}{2I}$

hvor $I=m{r}^2$ er inertimomentet.