Se kilde til Michaelis-Menten-ligningen

[[Fil:Michaelis-Menten saturation curve of an enzyme reaction LARGE.svg|thumb|right|Kurve for initialreaktionshastighed over substratkoncentration. Området ved de lave koncentrationer kaldes Region B, mens området med meget høje koncentrationer kaldes Region A]]
'''Michaelis-Menten-ligningen''' er inden for [[kemi]] en [[ligning]], der beskriver [[reaktionshastighed|initialreaktionshastigheden]]. dvs. reaktionshastigheden i begyndelsen fra substrat til produkt, hvor reaktionen er katalyseret af et [[enzym]]. Modellen blev oprindeligt formuleret af [[Leonor Michaelis]] og [[Maud Menten]].

== Modellen ==
Modellen handler om en reaktion på formen:<ref name="dtu"/>
: <math> \begin{align} 
 \text{E} + \text{S}
 \underset{k_{-1}}{\overset{k_{1}}
 {\begin{smallmatrix}\displaystyle\longrightarrow \\ \displaystyle\longleftarrow \end{smallmatrix}}}
  \text{ES}
   \overset{k_2}
  {\longrightarrow}
 \text{E} + \text{P}
\end{align}</math>
hvor E er enzymet, S er substratet, ES er [[enzym-substrat-kompleks]]et, og P er produktet.
Initialreaktionshastigheden, hvormed P dannes, er givet ved:
:<math>v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}</math>
Her er <math>v_0</math> initialraten, <math>V_{max}</math> den maksimale reaktionshastighed, <math>[S]</math> substratkoncentrationen, og <math>K_m</math> er [[Michaelis-konstanten]].
Ved substratkoncentrationer meget lavere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til
:<math>v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m}</math>
Her udvikler reaktionshastigheden sig altså lineært med substratkoncentrationen. Ved substratkoncentrationer meget højere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til
:<math>v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{[\text{S}]}=V_{max}</math>
Her udvikler reaktionshastigheden sig altså stort set ikke med substratkoncentrationen, men er på et konstant maksimum. På billedet ses den resulterende graf for reaktionshastigheden over substratkoncentrationen.<ref name="dtu">Biotech Academy: ''[https://www.biotechacademy.dk/undervisning/gymnasiale-projekter/biologiske-katalysatorer-forbedrer-broedet/#1510836432703-5a79d92e-e6f7f38c-5b729e0c-8ab9 Enzymer]{{Dødt link|date=februar 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}''. Besøgt 30. april 2019.</ref>

Når hastigheden svarer til det halve af <math>V_{max}</math>, er substratkoncentrationen lig med Michaelis-Menten-konstanten:
:<math>\begin{align}\frac{V_{max}}{2} & =\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\
\frac{1}{2} & =\frac{[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\
K_m+[\text{S}]&=2[\text{S}]\\
K_m&=[\text{S}]
\end{align}</math>

=== Udledning ===
Modellen kan udledes ved først at antage, at reaktionshastigheden for produktet er proportional med koncentrationen af ES:
:<math>v_0=k_2[\text{ES}]</math>
Reaktionen fra E og S til ES er:
:<math>v_1=k_1[\text{E}][\text{S}]</math>
Og tilbage:
:<math>v_{-1}=k_{-1}[\text{ES}]</math>
Det antages, at der er opstået ligevægt, således at koncentrationen af ES er konstant. Dermed må de tre reaktionshastigheder udligne hinanden:
:<math>\begin{align}v_1&=v_{-1}+v_0\\
k_1[\text{E}][\text{S}]&=(k_{-1}+k_2)[\text{ES}]\\
\frac{k_1}{k_{-1}+k_2}&=\frac{[\text{ES}]}{[\text{E}][\text{S}]}\\
K_m&=\frac{[\text{E}][\text{S}]}{[\text{ES}]}
\end{align}</math>
hvor
:<math>K_m \equiv \frac{k_{-1}+k_2}{k_1}</math>
Enzymkoncentrationen må være den oprindelige koncentration <math>[\text{E}]_0</math> minus koncentrationen af enzym-substrat-komplekset:
:<math>[\text{E}]=[\text{E}]_0-[\text{ES}]</math>
Substratkoncentrationen antages ikke at have ændret sig betydeligt. Disse antagelser indsættes, og <math>[\text{ES}]</math> isoleres:
:<math>\begin{align}K_m&=\frac{([\text{E}]_0-[\text{ES}])[\text{S}]}{[\text{ES}]}\\
K_m&=\frac{[\text{E}]_0[\text{S}]-[\text{ES}][\text{S}]}{[\text{ES}]}\\
K_m[\text{ES}]&=[\text{E}]_0[\text{S}]-[\text{ES}][\text{S}]\\
(K_m+[\text{S}])[\text{ES}]&=[\text{E}]_0[\text{S}]\\
\text{[ES]}&=\frac{[\text{E}]_0[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}
\end{align}</math>
Ved at gange <math>k_2</math> på fås Michaelis-Menten-ligningen:<ref name="atkins">{{Kilde | efternavn1 = Atkins | fornavn1 = Peter | efternavn2 = de Paula | fornavn2 = Julio | titel     = Atkins' Physical Chemistry | udgiver = [[Oxford University Press]] | udgave = 8. | år    = 2006 | sider = 841-842 | isbn = 9780198700722 | kapitel = 23.6.a: The Michaelis-Menten mechanism of enzyme catalysis}}</ref>
:<math>\begin{align}v_0&=k_2\frac{[\text{E}]_0[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\
v_0&=\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\
\end{align}</math>
hvor
:<math>V_{max}=k_2[\text{E}]_0</math>
Jo større den tilsatte enzymkoncentration er, jo større hastighed vil reaktionen altså have mulighed for at forløbe med.

== Kildehenvisninger ==
{{Reflist}}

{{Enzymer}}

{{biokemistub}}

[[Kategori:Enzymkinetik]]