Michaelis-Menten-ligningen

Kurve for initialreaktionshastighed over substratkoncentration. Området ved de lave koncentrationer kaldes Region B, mens området med meget høje koncentrationer kaldes Region A

Michaelis-Menten-ligningen er inden for kemi en ligning, der beskriver initialreaktionshastigheden. dvs. reaktionshastigheden i begyndelsen fra substrat til produkt, hvor reaktionen er katalyseret af et enzym. Modellen blev oprindeligt formuleret af Leonor Michaelis og Maud Menten.

Modellen

Modellen handler om en reaktion på formen:

$\begin{array}{c}\text{E}+\text{S}\underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\begin{array}{c}⟶\\ ⟵\end{array}}}\text{ES}\stackrel{k_2}{⟶}\text{E}+\text{P}\end{array}$

hvor E er enzymet, S er substratet, ES er enzym-substrat-komplekset, og P er produktet. Initialreaktionshastigheden, hvormed P dannes, er givet ved:

$v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}$

Her er $v_0$ initialraten, $V_{max}$ den maksimale reaktionshastighed, $[S]$ substratkoncentrationen, og $K_m$ er Michaelis-konstanten. Ved substratkoncentrationer meget lavere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til

$v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m}$

Her udvikler reaktionshastigheden sig altså lineært med substratkoncentrationen. Ved substratkoncentrationer meget højere end Michaelis-konstanten reducerer ligningen til

$v_0=\frac{V_{max}[\text{S}]}{[\text{S}]}=V_{max}$

Her udvikler reaktionshastigheden sig altså stort set ikke med substratkoncentrationen, men er på et konstant maksimum. På billedet ses den resulterende graf for reaktionshastigheden over substratkoncentrationen.

Når hastigheden svarer til det halve af $V_{max}$, er substratkoncentrationen lig med Michaelis-Menten-konstanten:

$\begin{array}{cc}\frac{V_{max}}{2}& =\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\ \frac{1}{2}& =\frac{[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\ K_m+[\text{S}]& =2[\text{S}]\\ K_m& =[\text{S}]\end{array}$

Udledning

Modellen kan udledes ved først at antage, at reaktionshastigheden for produktet er proportional med koncentrationen af ES:

$v_0=k_2[\text{ES}]$

Reaktionen fra E og S til ES er:

$v_1=k_1[\text{E}][\text{S}]$

Og tilbage:

$v_{-1}=k_{-1}[\text{ES}]$

Det antages, at der er opstået ligevægt, således at koncentrationen af ES er konstant. Dermed må de tre reaktionshastigheder udligne hinanden:

$\begin{array}{cc}{v}_1& =v_{-1}+v_0\\ k_1[\text{E}][\text{S}]& =(k_{-1}+k_2)[\text{ES}]\\ \frac{k_1}{k_{-1}+k_2}& =\frac{[\text{ES}]}{[\text{E}][\text{S}]}\\ K_m& =\frac{[\text{E}][\text{S}]}{[\text{ES}]}\end{array}$

hvor

$K_m\equiv \frac{k_{-1}+k_2}{k_1}$

Enzymkoncentrationen må være den oprindelige koncentration $[\text{E}{]}_0$ minus koncentrationen af enzym-substrat-komplekset:

$[\text{E}]=[\text{E}{]}_0-[\text{ES}]$

Substratkoncentrationen antages ikke at have ændret sig betydeligt. Disse antagelser indsættes, og $[\text{ES}]$ isoleres:

$\begin{array}{cc}{K}_m& =\frac{([\text{E}{]}_0-[\text{ES}])[\text{S}]}{[\text{ES}]}\\ K_m& =\frac{[\text{E}{]}_0[\text{S}]-[\text{ES}][\text{S}]}{[\text{ES}]}\\ K_m[\text{ES}]& =[\text{E}{]}_0[\text{S}]-[\text{ES}][\text{S}]\\ (K_m+[\text{S}])[\text{ES}]& =[\text{E}{]}_0[\text{S}]\\ \text{[ES]}& =\frac{[\text{E}{]}_0[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\end{array}$

Ved at gange $k_2$ på fås Michaelis-Menten-ligningen:

$\begin{array}{cc}{v}_0& =k_2\frac{[\text{E}{]}_0[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\ v_0& =\frac{V_{max}[\text{S}]}{K_m+[\text{S}]}\\ \end{array}$

hvor

$V_{max}=k_2[\text{E}{]}_0$

Jo større den tilsatte enzymkoncentration er, jo større hastighed vil reaktionen altså have mulighed for at forløbe med.