Se kilde til P-gruppe

{{DISPLAYTITLE:''p''-gruppe}} 
Givet et [[primtal]] ''p'', kalder vi en [[Gruppe (matematik)|gruppe]] ''G'' for en '''''p''-gruppe''', når ordenen af ethvert element i ''G'' er en [[Potens (matematik)|potens]] af ''p''. ''G'' er en endelig ''p''-gruppe hvis og kun hvis ordenen af ''G'' er en potens af ''p''. Af [[Sylows sætninger]] følger det at enhver endelig gruppe har [[undergruppe]]r, som er ''p''-grupper.

== Eksempler ==
Lad ''p'' være et primtal, da er følgende eksempler på ''p''-grupper
=== Endelige ''p''-grupper ===
# Den [[cyklisk gruppe|cykliske gruppe]] <math>C_p</math> er en [[abelsk gruppe|abelsk]] ''p''-gruppe af orden ''p''.
# Det [[direkte produkt af grupper|direkte produkt]] <math>C_p\times C_p</math> er en abelsk ''p''-gruppe af orden ''p<sup>2</sup>''.
# [[Diedergruppe]]n <math>D_4</math> er en ikke-abelsk 2-gruppe af orden 8 som sammen med [[Quaterniongruppe]]n <math>Q_8</math> udgør de mindste ikke-abelske ''p''-grupper.

=== Uendelige ''p''-grupper ===
# Betragt delmængden af de [[rationale tal]] på formen <math> \frac{a}{p^k} </math>, hvor ''a'' er et [[heltal]] og ''k'' et ikke-negativt heltal. Med kompositionen [[addition]] udgør disse tal [[modulo]] 1 en uendelig abelsk ''p''-gruppe. Enhver gruppe [[isomorf]] med denne er en <math> p^{\infty} </math>-gruppe og kaldes en [[quasicyklisk gruppe]] eller en Prüfer ''p''-gruppe efter [[Heinz Prüfer]]. Disse grupper er vigtige hvad angår [[klassificering]]en af de endelige abelske grupper.
# Betragt en uendelig gruppe ''G'', hvor enhver ikke-triviel undergruppe har ''p'' elementer. Da er ''G'' en uendelig simpel ''p''-gruppe. Gruppen kalder vi for en Tarski ''p''-gruppe opkaldt efter [[Alfred Tarski]] og bliver også omtalt som Tarskis monster gruppen. [[Alexander Ol'shanskii]] beviste i 1979 at sådanne grupper rent faktisk eksisterede og at der findes en Tarski ''p''-gruppe for ethvert primtal <math>p > 10^{75}</math>. Grupperne viser sig somme tider at være vigtige, når der skal findes [[modeksempel|modeksempler]] til gruppeteoretiske formodninger, bl.a. i forbindelse med [[Burnside's problem]].

== Egenskaber ==
Lad ''p'' være et primtal og lad ''G'' være en endelig ''p''-gruppe, da har ''G'' følgende egenskaber.
<br />
<br />
:1) Hvis <math>G \ne \{1\}</math>, har ''G'' et ikke-trivielt [[centrum (matematik)|centrum]].
<br />
'''''Bevis.''''' Lad ''Z(G)'' være centret af ''G'' og lad ''C<sub>G</sub>(x)'' være [[centralisator]]en for <math>x \in G</math>. Da gælder ifølge [[Klasseligning]]en at
::::::::::::<math> \vert G \vert=\vert Z(G) \vert + \sum_j \vert G:C_G(x_j) \vert, </math>
hvor der i summationen er valgt ét element ''x<sub>j</sub>'' fra hver [[konjugeretklasse]] udefor centret. Da <math>G \ne C_G(x_j)</math> idet <math>x_j \notin Z(G) </math>, så er <math>\vert G:C_G(x_j) \vert \ne 1 </math> og <math> \vert G:C_G(x_j) \vert </math> er ifølge [[Lagranges Indekssætning]] divisor i ordenen af ''G'' som jo er en potens af ''p'', men da må ''p'' også være divisor i <math> \vert Z(G) \vert </math>, da <math> \vert Z(G) \vert \ne 0 </math>, hvilket viser at ''G'''s centrum er ikke-trivielt. 
<br />
<br />
:2) Lad ''G'' have orden ''p<sup>2</sup>''. Da er ''G'' abelsk.
<br />
'''''Bevis.''''' Fra 1) ved vi at der findes et ikke-trivielt element ''g'' i ''G'''s centrum som enten må have orden ''p'' eller ''p<sup>2</sup>''. Hvis ordenen af ''g'' er ''p<sup>2</sup>'' er <math>G=\langle g \rangle</math> cyklisk og dermed specielt abelsk. Antag derfor at ordenen af ''g'' er ''p'' og lad <math> h \notin \langle g\rangle </math>. Da ''g'' ligger i centrum af ''G'', [[kommutativ|kommuterer]] ''g'' med alle elementer i ''G'' og specielt er undergruppen [[frembringer|frembragt]] af ''g'' normal. Altså er <math> \langle h\rangle\langle g\rangle </math> en gruppe som foruden at indeholde undergruppen frembragt af ''g'' også indeholder ''h'', så da ordenen af ''G'' er ''p<sup>2</sup>'', må vi have at <math> \langle h\rangle\langle g\rangle=G</math>. ''G'' består derfor af alle produkter på formen ''h<sup>i</sup>g<sup>j</sup>'' som kommuterer, da ''g'' og ''h'' kommuterer, hvilket betyder at ''G'' er abelsk. 
<br />
<br />
:3) Lad ''G'' have orden ''p<sup>n</sup>''. Da findes en kæde af normale undergrupper,
::::::::::::<math> \{1\}=G_0\subset G_1 \subset G_2 \subset \cdots \subset G_n=G, </math>
hvor ''G<sub>i</sub>'' har orden ''p<sup>i</sup>''. Specielt er ''G'' [[nilpotent gruppe|nilpotent]].
<br />
<br />
'''''Bevis.''''' Vi anvender [[induktion (matematik)|induktion]] efter ''n'' og da påstanden er klar for ''n=1'', antages det at den gælder for ''n-1'' og at ''n>1''. Vi ved fra 1) at der findes et element ''h'' forskellig fra identiteten i ''G'''s centrum som har orden ''p<sup>k</sup>'' for et ikke-negativt heltal ''k'', da ''G'' er en ''p''-gruppe. Erstatter vi ''h'' med ''h<sup>p<sup>k-1</sup></sup>'', kan vi antage, at ''h'' har orden ''p'' og den cykliske undergruppe ''G<sub>1</sub>'' frembragt af ''h'' har derfor orden ''p''. Da ethvert ''h<sup>i</sup>'' ligger i centret, kommuterer det med samtlige elementer i ''G'', så ''gh<sup>i</sup>g<sup>-1</sup>=h<sup>i</sup>'' som er et element i ''G''. Heraf følger det at ''G<sub>1</sub>'' er en normal undergruppe af ''G''. Betragt nu [[kvotientgruppe]]n <math> \bar{G}:=G/G_1 </math> som må have orden ''p<sup>n-1</sup>'', da ''G<sub>1</sub>'' har orden ''p''. Induktivt findes derfor i <math>\bar{G}</math> en kæde af normale undergrupper
::::::::::::<math> \{\bar{1}\}=\bar{G}_0\subset \bar{G}_1 \subset \bar{G}_2 \subset \cdots \subset \bar{G}_{n-1}=\bar{G}, </math>
hvor <math> \bar{G}_i </math> har orden ''p<sup>i</sup>''. Lad <math> \kappa:G \rightarrow \bar{G} </math> være den [[kanoniske homomorfi]] og betragt [[originalmængde]]n <math> G_i:=\kappa^{-1}(\bar{G}_{i-1}) </math> for ''i=1,...,n''. Her er <math>G_{i-1} \subseteq G_{i} </math> og det følger af [[Noethers anden Isomorfisætning]], at ''G<sub>i</sub>'' er en normal undergruppe i ''G'' og <math> \vert \bar{G}:\bar{G}_{i-1}\vert = p^{n-1}/p^{i-1} = p^{n-i}</math>. Altså har ''G<sub>i</sub>'' orden ''p<sup>i</sup>''.

[[Kategori:Gruppeteori]]