p-gruppe

Givet et primtal p, kalder vi en gruppe G for en p-gruppe, når ordenen af ethvert element i G er en potens af p. G er en endelig p-gruppe hvis og kun hvis ordenen af G er en potens af p. Af Sylows sætninger følger det at enhver endelig gruppe har undergrupper, som er p-grupper.

Eksempler

Lad p være et primtal, da er følgende eksempler på p-grupper

Endelige p-grupper

1. Den cykliske gruppe $C_p$ er en abelsk p-gruppe af orden p.
2. Det direkte produkt $C_p\times C_p$ er en abelsk p-gruppe af orden p².
3. Diedergruppen $D_4$ er en ikke-abelsk 2-gruppe af orden 8 som sammen med Quaterniongruppen $Q_8$ udgør de mindste ikke-abelske p-grupper.

Uendelige p-grupper

1. Betragt delmængden af de rationale tal på formen $\frac{a}{p^k}$, hvor a er et heltal og k et ikke-negativt heltal. Med kompositionen addition udgør disse tal modulo 1 en uendelig abelsk p-gruppe. Enhver gruppe isomorf med denne er en $p^{\mathrm{\infty }}$-gruppe og kaldes en quasicyklisk gruppe eller en Prüfer p-gruppe efter Heinz Prüfer. Disse grupper er vigtige hvad angår klassificeringen af de endelige abelske grupper.
2. Betragt en uendelig gruppe G, hvor enhver ikke-triviel undergruppe har p elementer. Da er G en uendelig simpel p-gruppe. Gruppen kalder vi for en Tarski p-gruppe opkaldt efter Alfred Tarski og bliver også omtalt som Tarskis monster gruppen. Alexander Ol'shanskii beviste i 1979 at sådanne grupper rent faktisk eksisterede og at der findes en Tarski p-gruppe for ethvert primtal $p>10^{75}$. Grupperne viser sig somme tider at være vigtige, når der skal findes modeksempler til gruppeteoretiske formodninger, bl.a. i forbindelse med Burnside's problem.

Egenskaber

Lad p være et primtal og lad G være en endelig p-gruppe, da har G følgende egenskaber.

1) Hvis $G\ne \{1\}$, har G et ikke-trivielt centrum.

Bevis. Lad Z(G) være centret af G og lad C_G(x) være centralisatoren for $x\in G$. Da gælder ifølge Klasseligningen at

$|G|=|Z(G)|+\sum _j|G:C_G(x_j)|,$

hvor der i summationen er valgt ét element x_j fra hver konjugeretklasse udefor centret. Da $G\ne C_G(x_j)$ idet $x_j\notin Z(G)$, så er $|G:C_G(x_j)|\ne 1$ og $|G:C_G(x_j)|$ er ifølge Lagranges Indekssætning divisor i ordenen af G som jo er en potens af p, men da må p også være divisor i $|Z(G)|$, da $|Z(G)|\ne 0$, hvilket viser at G's centrum er ikke-trivielt.

2) Lad G have orden p². Da er G abelsk.

Bevis. Fra 1) ved vi at der findes et ikke-trivielt element g i G's centrum som enten må have orden p eller p². Hvis ordenen af g er p² er $G=⟨g⟩$ cyklisk og dermed specielt abelsk. Antag derfor at ordenen af g er p og lad $h\notin ⟨g⟩$. Da g ligger i centrum af G, kommuterer g med alle elementer i G og specielt er undergruppen frembragt af g normal. Altså er $⟨h⟩⟨g⟩$ en gruppe som foruden at indeholde undergruppen frembragt af g også indeholder h, så da ordenen af G er p², må vi have at $⟨h⟩⟨g⟩=G$. G består derfor af alle produkter på formen hⁱg^j som kommuterer, da g og h kommuterer, hvilket betyder at G er abelsk.

3) Lad G have orden pⁿ. Da findes en kæde af normale undergrupper,

$\{1\}=G_0\subset G_1\subset G_2\subset \cdots \subset G_n=G,$

hvor G_i har orden pⁱ. Specielt er G nilpotent.

Bevis. Vi anvender induktion efter n og da påstanden er klar for n=1, antages det at den gælder for n-1 og at n>1. Vi ved fra 1) at der findes et element h forskellig fra identiteten i G's centrum som har orden p^k for et ikke-negativt heltal k, da G er en p-gruppe. Erstatter vi h med h^pk-1, kan vi antage, at h har orden p og den cykliske undergruppe G₁ frembragt af h har derfor orden p. Da ethvert hⁱ ligger i centret, kommuterer det med samtlige elementer i G, så ghⁱg^-1=hⁱ som er et element i G. Heraf følger det at G₁ er en normal undergruppe af G. Betragt nu kvotientgruppen $\overline{G}:=G/G_1$ som må have orden p^n-1, da G₁ har orden p. Induktivt findes derfor i $\overline{G}$ en kæde af normale undergrupper

$\{\overline{1}\}={\overline{G}}_0\subset {\overline{G}}_1\subset {\overline{G}}_2\subset \cdots \subset {\overline{G}}_{n-1}=\overline{G},$

hvor ${\overline{G}}_i$ har orden pⁱ. Lad $\kappa :G\to \overline{G}$ være den kanoniske homomorfi og betragt originalmængden $G_i:={\kappa }^{-1}({\overline{G}}_{i-1})$ for i=1,...,n. Her er $G_{i-1}\subseteq G_i$ og det følger af Noethers anden Isomorfisætning, at G_i er en normal undergruppe i G og $|\overline{G}:{\overline{G}}_{i-1}|=p^{n-1}/p^{i-1}=p^{n-i}$. Altså har G_i orden pⁱ.