Se kilde til Potensgennemsnit

'''Potensgennemsnit''' er en generalisering af det [[gennemsnit|aritmetiske gennemsnit]], det [[harmonisk gennemsnit|harmoniske gennemsnit]] og det [[geometrisk gennemsnit|geometriske gennemsnit]]. 
== Definition ==
For positive tal x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>, og for et reelt tal p forskelligt fra 0, defineres:
<math>
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}
</math>
== Egenskaber ==
* <math>M_p</math> er en [[homogen funktion]] af x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>. Det betyder et der for ethvert positivt reelt tal b gælder:
<math>
b M_p(x_1,\dots,x_n)=M_p(b x_1,\dots,b x_n)
</math>
* Hvis p < q så <math>M_p(x_1,\dots,x_n)\le M_q(x_1,\dots,x_n)</math> med lighed hvis og kun hvis x<sub>1</sub>=x<sub>2</sub>=...=x<sub>n</sub>.
* Hvis man betragter M som en [[funktion (matematik)|funktion]] af p, er funktionen [[Kontinuitet|kontinuert]].

== Specialtilfælde ==

* <math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math> – det [[harmonisk gennemsnit|harmoniske gennemsnit]],
* <math>M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math> – det [[gennemsnit|aritmetiske gennemsnit]] (det normale gennemsnit),
* <math>M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math> – det [[kvadratiske gennemsnit]],
* <math>\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}</math> – den mindste af x-værdierne,
* <math>\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}</math> – det [[geometrisk gennemsnit|geometriske gennemsnit]],
* <math>\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}</math> – den største af x-værdierne.

På grund af de tre grænseværdier kan man definere <math>M_0(x_1,\dots,x_n)={G}</math>, hvor G er det geometriske gennemsnit, samt <math>M_{\infty}(x_1,\dots,x_n)=\max \{x_1,\dots,x_n\}</math> og <math>M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min \{x_1,\dots,x_n\}</math>

[[Kategori:Middelværdier]]