Potensgennemsnit

Potensgennemsnit er en generalisering af det aritmetiske gennemsnit, det harmoniske gennemsnit og det geometriske gennemsnit.

Definition

For positive tal x₁, x₂, ..., x_n, og for et reelt tal p forskelligt fra 0, defineres: $M_p(x_1,\dots ,x_n)={(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i^p)}^{1/p}$

Egenskaber

• $M_p$ er en homogen funktion af x₁, x₂, ..., x_n. Det betyder et der for ethvert positivt reelt tal b gælder:

$b{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=M_p(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)$

• Hvis p < q så $M_p(x_1,\dots ,x_n)\le M_q(x_1,\dots ,x_n)$ med lighed hvis og kun hvis x₁=x₂=...=x_n.
• Hvis man betragter M som en funktion af p, er funktionen kontinuert.

Specialtilfælde

• $M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$ – det harmoniske gennemsnit,
• $M_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$ – det aritmetiske gennemsnit (det normale gennemsnit),
• $M_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$ – det kvadratiske gennemsnit,
• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$ – den mindste af x-værdierne,
• $\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$ – det geometriske gennemsnit,
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$ – den største af x-værdierne.

På grund af de tre grænseværdier kan man definere $M_0(x_1,\dots ,x_n)=G$, hvor G er det geometriske gennemsnit, samt $M_{\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$ og $M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$