Se kilde til Supremum

I [[matematik]]ken siges '''supremum''' for en [[mængde|delmængde]] <math>A \subseteq \mathbb{R}</math> af de [[reelle tal]] at være delmængdens ''mindste øvre grænse''. Hvis <math>x</math> er et sådant, skrives typisk: <math>x = \sup A</math>.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde <math>A \subset \mathbb{R}</math> forstås et reelt tal, <math>x</math>, der er større end eller lig alle elementer i <math>A</math>. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

<math>\forall a \in A : x \geq a</math>.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at <math>x \in \mathbb{R}</math> er en øvre grænse i <math>A \subset \mathbb{R}</math>, og hvis <math>b</math> er en øvre grænse i <math>A</math> er <math>x \leq b</math>.

== Eksempler ==
<math>\sup \{1,2,3\} = 3</math>

<math>\sup \{(-1)^n \mid n \in \mathbb{N}\} = 1</math>

<math>\sup \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\} = \sqrt{2}</math>

== Supremumsegenskaben ==

En [[total ordning|totalt ordnet mængde]] siges at have ''supremumsegenskaben'', hvis enhver ikke-tom, [[opadtil begrænset]] delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har [[infimumsegenskaben]].

== Se også ==
* [[Infimum]]

[[Kategori:Mængdelære]]
[[Kategori:Ordningsteori]]