Supremum

I matematikken siges supremum for en delmængde $A\subseteq ℝ$ af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis $x$ er et sådant, skrives typisk: $x=\sup A$.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde $A\subset ℝ$ forstås et reelt tal, $x$, der er større end eller lig alle elementer i $A$. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

$\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a$.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at $x\in ℝ$ er en øvre grænse i $A\subset ℝ$, og hvis $b$ er en øvre grænse i $A$ er $x\le b$.

Eksempler

$\sup \{1,2,3\}=3$

$\sup \{(-1{)}^n\mid n\in \mathbb{N}\}=1$

$\sup \{x\in ℝ\mid x^2=2\}=\sqrt{2}$

Supremumsegenskaben

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, opadtil begrænset delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også

• Infimum