Ampère-Maxwells lov

Ampère-Maxwells lov er en af de grundlæggende ligninger i klassisk elektromagnetisme.

Ampères lov beskrev oprindeligt, hvordan strøm giver anledning til et magnetfelt $𝐁$ - det fundamentale princip bag elektromagneter - men senere tilføjede James Clerk Maxwell, at et magnetfelt også kan dannes af et varierende elektrisk felt $𝐄$. Det er dette, der muliggør eksistensen af elektromagnetisk stråling.

Faradays induktionslov minder om Ampère-Maxwells lov og beskriver, hvordan ændringer i et magnetfelt giver anledning til et elektrisk felt.

Loven på integral-form

Ampères lov viser, at der er et magnetfelt omkring en ledning, når strøm går igennem den.

Ampère-Maxwells fulde lov på integral-form lyder:

${\oint }_C𝐁\cdot \text{d}𝐥={\mu }_0\underset{S}{\int }𝐉\cdot \text{d}𝐀+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\text{d}}{\text{d}t}\underset{S}{\int }𝐄\cdot \text{d}𝐀$

På venstresiden er magnetfeltet integreret over kurven $C$, der omkranser en flade $S$. På højresiden står der to termer. Den første er Ampères og er strømtætheden integreret over arealet af $S$. Jo flere ladninger, der bevæger sig igennem arealet, jo større vil magnetfeltet altså være. Den samlede strøm $i$ igennem arealet er blot:

$i=\underset{S}{\int }𝐉\text{ d}𝐀$

${\mu }_0$ er en konstant kaldet vakuumpermeabiliteten. Den anden term er Maxwells senere tilføjelse og angiver, at det elektriske felt integreret over fladen - dvs. den elektriske flux - skaber et magnetisk felt, når det ændrer sig. ${\epsilon }_0$ er en anden konstant kaldet vakuumpermettiviteten.

Eksempel med Ampères lov

I Ampères simplere lov regnes det andet led for negligibelt. Ved at bruge strømmen i stedet for strømtætheden kan Ampères lov altså skrives som:

${\oint }_C𝐁\cdot \text{d}𝐥={\mu }_{0}i$

Hvis området $S$ er en cirkel med radius $r$, er omkredsen givet ved:

$O=2\pi r$

hvilket er kurven $C$'s størrelse. Hvis strømmen er fordelt rotationssymmetrisk, må det magnetiske felt være lige stort alle steder på kurven og kan derfor tages uden for integralet. Integralet giver da bare omkredsen:

$BO=B2\pi r={\mu }_{0}i$

Magnetfeltets størrelse $B$ er altså givet ved:

$B=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi r}$

Dette er magnetfeltet, der fx kan findes omkring en ubeskyttet ledning. Det falder i styrke med én over afstanden.

Loven på differentialform

Alt afhængig af formålet kan det være fordelagtigt at formulere Ampère-Maxwells lov som differentialligning i stedet. Ved at anvende Stokes' sætning på venstresiden og Leibniz' integralregel på Maxwells tilføjelse kan loven skrives som:

$\begin{array}{cc}\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\cdot d𝐀& ={\mu }_0\underset{S}{\int }𝐉\cdot \text{d}𝐀+{\mu }_0{\epsilon }_0\underset{S}{\int }\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\cdot \text{d}𝐀\\ \underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\cdot d𝐀& =\underset{S}{\int }({\mu }_0𝐉+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t})\cdot \text{d}𝐀\end{array}$

Hvis dette skal gælde for alle integrander, må integranderne også være lig med hinanden. Differentialformen bliver altså:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Denne form er fx nyttig til at vise, at lys er elektromagnetisk stråling. Det viser sig nemlig, at lysets hastighed er relateret til permeabilitet og primitivitet ved

${\mu }_0{\epsilon }_0=\frac{1}{c^2}$

hvor $c$ er lysets hastighed.

Eksterne henvisninger

• Ampère's Law fra Crash Course