Differentialligning

Skabelon:Kilder En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede. At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:

$a_n\frac{\mathrm{d}{}^{n}y}{\mathrm{d}{t}^n}+a_{n-1}\frac{\mathrm{d}{}^{n-1}y}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\dots +a_{1}y=u(t),a_n\ne 0$

Såfremt $u(t)$ er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

Eksempel: Hastighed og acceleration

Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension. Hastigheden $v$ er defineret som ændring i position $s$ pr. tidsændring $t$:

$v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

Samtidig er acceleration $a$ ændringen i hastighed pr. tidsændring:

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Eksempel: Lodret kast med bold

Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen $g$, som i Danmark er omtrent 9,82 m/s². Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde $s(t)$ over jorden:

$\frac{\mathrm{d}{}^{2}s(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=-9,82$

Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.

Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:

$v_0=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(0)=5$

$s_0=s(0)=1,5$

Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:

$\frac{\mathrm{d}{}^{2}s(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=-9,82$

$\int \frac{\mathrm{d}{}^{2}s(t)}{\mathrm{d}{t}^2}\mathrm{d}t=\int -9,82\mathrm{d}t$

$\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=-9,82\cdot t+v_0$

I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:

$\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=-9,82\cdot t+5$

Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:

$\int \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\int (-9,82\cdot t+5)\mathrm{d}t$

$s(t)=\frac{1}{2}(-9,82)\cdot t^2+5\cdot t+s_0$

Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:

$s(t)=-4,91\cdot t^2+5\cdot t+1,5$

Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:

$0=-4,91\cdot t^2+5\cdot t+1,5$

Hvilket giver den positive løsning:

$t=1,23$

Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Populær definition af differentialligning

Populært sagt er en differentialligning en type ligning, som består af to ubestemte integraler; men der er gået kludder i de to ubestemte integraler.

Som standard er det ene integral af $dx$ og det andet integral er af $dy$.

Metoden separation af de variable

At løse en differentialligning kan ske ved metoden separation af de variable.

Her starter man med at definere to funktioner; der som standard hedder $g(x)$ og $h(y)$.

Man tager forbehold og sikrer, at $h(y)\ne 0$

for man skal senere dividere med $h(y)$ eller rettere: Man skal dividere med det, som er lig med $h(y)$.

Når man har bragt orden i de ubestemte intgraler,

sætter man et integraltegn (det langstrakte s:$\int$) på hver side af lighedstegnet.

Skrive to stamfunktioner

Herefter skal man skrive to stamfunktioner.

Ved at skrive de to stamfunktioner opstår der en almindelig ligning.

Løse den almindelige ligning

Den almindelige ligning løser man ved at isolere variablen $y$

Så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.

Nogle eksempler på typer af differentialligninger

Ifølge Hebsgaard (1995) findes der flere forskellige typer differentialligninger.

· Den proportionale første ordens differentialligning

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=k\cdot y,y\ne 0$

$⟺$ og dens fuldstændige løsning

$y(x)=c\cdot e^{k\cdot x}$

· Den lineære første ordens differentialligning

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=a\cdot y+b,a\ne 0$

$⟺$ og dens fuldstændige løsning

$y(x)=c\cdot e^{a\cdot x}-\frac{b}{a},a\ne 0$

· Den proportionale anden ordens differentialligning

$y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=k^2\cdot y$

$⟺$ og dens fuldstændige løsning

for $k^2>0$

$y^{″}=k^2\cdot y⟺y=c_1\cdot exp(kx)+c_2\cdot exp(-kx)$

for $k^2<0$

$y^{″}=-k^2\cdot y⟺y=c_1\cdot cos(kx)+c_2\cdot sin(kx)$

for $k=0$
$y^{″}=0⟺y=c_1\cdot x+c_2$

Løsningen beregnes nemt ved at integrere to gange.

Eksempler på anvendte differentialligninger

• Navier-Stokes' ligning
• Euler-Lagrange-ligning
• Logistisk vækst
• Newtons afkølingslov
• Newtons anden lov
• Radioaktivitet
• Reaktionshastighed

fig. proprotional (1 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning.

fig. proprotional (2 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning med de to stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres. En proportional første ordens differentiallignings løsning er forskrift for eksponentiel vækst.

Xcas løser første ordens og anden ordens differentialligninger algebraisk.

fig. lineær (1 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning.

fig. lineær (2 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning med stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres En lineær første ordens differentiallignings løsning er forskrift for forskudt eksponentiel vækst.

Figuren viser to eksempler på at starte løsningen af den separable første ordens differentialligning, hvis ikke-trivielle løsning er forskriften for logisitisk vækst, ved metoden separation af de variable.

Løsning

For en separabel første orden differentialligning skelner man mellem den fuldstændige løsning og en partikulær løsning; den fuldstændige løsning omfatter alle løsninger; en partikulær løsning er derimod en konkret løsning; først beregner man den fuldstændige løsning og herefter beregner man en partikulær løsning.

En funktion $f$, som tilfredsstiller en differentialligning, kaldes en løsning. Grafen for $f$ kaldes en løsningskurve eller integralkurve; samtlige funktioner, som tilfredsstiller en differentialligning kaldes den fuldstændige løsning. Korte stumper af løsningskurver indtegnet i koordinatsystemet betegnes linjeelementer.

Løsningsmetoder

• Separation af de variable
• Anvende panserformlen til at løse lineær differentialligning af første orden

Separabel første ordens differentialligning

Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til en differentialligning, kan føres vha. separation af de variable; hvor $g(x)=1$. En separabel første ordens differentialligning kan opfattes som to ubestemte integraler. Der er tale om et ubestemt integrale af $x$ og et andet ubestemt integrale af $y$. Men der er gået kludder i de to ubestemte integraler. Så samler man alt, der har med $y$ at gøre på den ene side af lighedstegnet; mens alt, som har med $x$ at gøre, samler man på den anden side af lighedstegnet.

Ved at anvende separation af de variable samt skrive to stamfunktioner og den fælles integrationskonstant (gerne med et græsk bogstav) er der fremkommet en almindelig ligning.

Så er det lettere at isolere $y$ i den almindelige ligning. Når man har isoleret $y$, så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning. Ved først at isolere konstanten $c$; og så indsætte løsningskurvens punkts koordinater i den fuldstændige løsning beregner man den partikulære løsning, der indeholder det punkt, som løsningskurven gennemskærer.

CAS-softwares

En håndfuld CAS-softwares kan løse differentialligninger algebraisk. Den typiske kommando for at løse differentialligning er

enten:

dsolve($y^{\prime }=k\cdot y$ , $y$) for Maple og Mathematica

eller:

deSolve($y^{\prime }=b\cdot y-a$ ,$x$,$y$) for TI-Nspire CAS og TI-92 Plus online emulator og TI-89 online simulator

hhv.

desolve($y^{\prime }=b\cdot y-a$ , $y$) for SageMath og Xcas og ExpressionsinBar

Disse websites kan løse differentialligninger

• https://www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator Skabelon:Webarchive
• https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations/ Skabelon:Webarchive

Kunstig intelligens er ved at lære at løse første ordens og anden ordens differentialligninger.

IT-afsnit

Som en del af Edge browser kan MS Copilot bevise den proportionale differentiallignings løsningsformel, hvis man promter dette:

bevis differentialligningen dy/dx=k*y med forklaringer undervejs ved metoden separation af variable

Eksterne kilder

Bøger

• Bahr, Kristian (2015): Smart matematik A : teoribog til adgangskursus. Praxis - Nyt Teknisk Forlag, Odense. Skabelon:ISBN
• Bruun, Bodil & Grøn, Bjørn m.fl. (2015): Hvad er matematik? - A : grundbog. 2. udgave. Lindhardt og Ringhof, København. Skabelon:ISBN
• Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. Skabelon:ISBN
• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2. integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. Skabelon:ISBN
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. Skabelon:ISBN. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf
• Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1977): dtv-Atlas zur Mathematik : Tafeln und Texte : Analysis und angewandte Mathematik. Band 2. Deutscher Taschenbuch Verlag, München. Skabelon:ISBN