Wronski-determinant

Indenfor matematikken anvendes Wronski-determinant (forkortet: W) til at undersøge differentialligninger, især til at undersøge andenordens differentialligninger. Denne type determinant blev introduceret af den polske matematiker Józef Maria Hoëné-Wroński (1778-1853). Wronski-determinant blev i 1882 navngivet af den skotske matematiker Thomas Muir.

Wronski-determinanten kan anvendes til at afgøre, om et antal løsninger til en differentialligning eller et differentialligningssystem er lineært uafhængige.

Wronski-determinanten kan udvides til en Wronski-matrix.

Wronski-determinant af to funktioner

Wronski-determinant af to differentiable funktioner $f$ og $g$ er:

$W(f,g)=\left|\begin{array}{cc}f& g\\ f^{\prime }& g^{\prime }\end{array}\right|=f\cdot g^{\prime }-g\cdot f^{\prime }$

Man skriver de to funktioner ved siden af hinanden;

under hver funktion skriver man hver funktions differentialkvotient.

Så multiplicerer man diagonalt og skriver minus mellem de to produkter.

En Wronski-determinant af de to funktioner $f_1$ og $f_2$

$W(f_1,f_2)(t)=\left|\begin{array}{cc}{f}_1(t)& f_2(t)\\ {f_1}^{\prime }(t)& {f_2}^{\prime }(t)\end{array}\right|=0$

kan anvendes til at bestemme den fuldstændige løsning til den homogene lineære anden ordens differentialligning:

$f^{″}(x)+a\cdot f^{\prime }(x)+b\cdot f(x)=0$

Wronski-determinant af flere funktioner

En Wronski-determinant kan rumme $n$ antal funktioner:

$W(f_1,\dots ,f_n)(t)=\left|\begin{array}{cccc}{f}_1(t)& f_2(t)& \dots & f_n(t)\\ f_1^{(1)}(t)& f_2^{(1)}(t)& \dots & f_n^{(1)}(t)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ f_1^{(n-1)}(t)& f_2^{(n-1)}(t)& \dots & f_n^{(n-1)}(t)\end{array}\right|,t\in I,$

Se også

• Determinant
• Matrix
• Differentialligning

Eksterne henvisninger

Bøger

• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2: integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. Skabelon:ISBN
• H. Heuser (1995): Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Skabelon:ISBN

Homepage

• Eric W. Weisstein: Wronskian. In: MathWorld (English).