Gauss' lov

Skabelon:Harflertydig Gauss' lov udtrykker sammenhængen mellem elektrisk ladning og det elektriske felter, og den er en af Maxwells ligninger. Denne kan udtrykkes på integralform således:

${\oint }_S𝐄\cdot d𝐀=\frac{q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}$

I matematisk terminologi er integralet af $𝐄$-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede ladning $q_{\text{enc}}$. Ladningen er ladningstætheden $\rho (𝐫,t)$ integreret over det omsluttede volumen

$q_{\text{enc}}=\underset{V}{\int }\rho (𝐫)dV.$

Jf. divergens-teoremet er integralformen ækvivalent med divergensen af $𝐄$-feltet lig den lokale ladningstæthed divideret med vakuumpermittiviteten ${\epsilon }_0$. Dette kan skrives som:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Coulombs lov er fysisk identisk med Gauss' lov.

Eksempel: Punktladning

For en positiv ladning $q$ peger det elektriske felt væk fra ladningen lige meget i alle retninger, mens det for $-q$ vil pege ind mod ladning. Der er altså tale om sfærisk symmetri, så derfor vælges en sfærisk skal som lukket flade med ladningen i centrum. Nu peger feltet vinkelret ud af skallen i samme retning som de infinitesimale arealer, hvilket giver gør, at begge størrelse kan behandles som skalare. Dvs:

${\oint }_{S}E\cdot dA=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Det elektrisk felt er lige stort i alle retninger, så det er en konstant faktor, som kan sættes uden for integrationstegnet.

${\mathrm{\Phi }}_E=E{\oint }_S\cdot dA=EA=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Arealet er overfladearealet af en kugle er givet ved

$A=4\pi r^2$

hvor $r$ er sfærens radius, hvilket også er afstanden til ladningen. Dette indsættes:

$E4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Det elektriske felt kan nu isoleres:

$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q}{r^2}$

Det elektriske felt fra en punktladning $q$ falder altså med afstanden i anden. Kraften på en anden punktladning $Q$ er dermed:

$F=QE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{qQ}{r^2}$

Denne sidste sammenhæng er kendt som Coulombs lov.