Coulombs lov

Skabelon:Elektromagnetisme Coulombs lov, fremsat af Charles Augustin Coulomb i 1780'erne, er en fysisk lov, som beskriver den elektrostatiske interaktion mellem elektrisk ladede partikler.

Formulering

Loven postulerer, at størrelsen af den elektrostatiske kraft mellem to punktpartikler er proportional med produktet af ladningerne og omvendt proportional med kvadratet på deres indbyrdes afstand, dvs.

$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$

hvor

$F$ er størrelsen af den elektrostatiske kraft på partikel 1 og 2,

${\epsilon }_0=8.854187817...\times 10^{-12}\text{F}{\text{m}}^{-1}$ (Farad pr. meter) er vakuumpermittiviteten,

$q_1$ er ladningen af partikel 1,

$q_2$ er ladningen af partikel 2,

$r$ er afstanden mellem de ladede partikler.

På vektorform er Coulombs lov

${\overrightarrow{F}}_1=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{|{\overrightarrow{r}}_{21}{|}^2}{\hat{r}}_{21}$

hvor

${\overrightarrow{F}}_1$ er den elektrostatiske kraft på partikel 1.

${\overrightarrow{r}}_{21}={\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2$ er vektoren, der går fra $q_2$ til $q_1$,

${\hat{r}}_{21}=\frac{{\overrightarrow{r}}_{21}}{|{\overrightarrow{r}}_{21}|}$ er enhedsvektoren, der går fra $q_2$ til $q_1$.

${\overrightarrow{r}}_1$ er stedvektoren for partiklen med ladning $q_1$,

${\overrightarrow{r}}_2$ er stedvektoren for partiklen med ladning $q_2$.

Ofte forkortes udtrykket ved at benævne den første brøk Coulomb-konstanten $k_c$ hvor

$k_c=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=8.987742438\times 10^9\text{N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$

Coulombs lov skrives da

$F=k_c\frac{q_1{q}_2}{r^2}$

Det ses derved tydeligere at Coulombs lov har samme matematiske form som Newtons universelle gravitationslov.

Addition af kræfter

Systemer med flere end to ladede partikler fx et trepartikelsystem med ladningerne $q_1$, $q_2$ og $q_3$ behandles ved hjælp af superpositionsprincippet. Det betyder at kraften på $q_1$ er en sum af kræfterne som $q_2$ og $q_3$ virker med, dvs.

$\overrightarrow{F_1}={\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{31}=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q_2}{|{\overrightarrow{r}}_{21}{|}^2}{\hat{r}}_{21}+\frac{q_3}{|{\overrightarrow{r}}_{31}{|}^2}{\hat{r}}_{31})$

Generelt for $N$ ladninger bliver kraften på ladning 1:

$\overrightarrow{F_1}=\sum _{i=2}^N{\overrightarrow{F}}_{i1}=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=2}^N\frac{q_i}{|{\overrightarrow{r}}_{i1}{|}^2}{\hat{r}}_{i1}$

Superpositionsprincippet gælder også for det elektriske felt og det elektriske potential.

Elektrisk felt

Det elektriske felt er defineret som kraften pr. ladning. Det elektriske felt omkring ladning 2 er derfor

$\overrightarrow{E}=\frac{{\overrightarrow{F}}_1}{q_1}$

eller

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{|{\overrightarrow{r}}_{21}{|}^2}{\hat{r}}_{21}$

Potentiel energi og potential

Skabelon:Hovedartikel Den elektrostatiske kraft, som afhænger af positionen af den elektrisk ladede partikel dvs. $F=F(r)$, er en konservativ kraft. Konservative kræfter kan beskrives med en potentialfunktion $V=V(r)$ (potentiel energi), der opfylder

$-\frac{\text{d}V}{\text{d}r}=F$ ,

hvoraf det følger, at

$V=-\int Fdr=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{q_1{q}_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r}+C$

Integrationskonstanten $C$ vælges konventionelt således, at $V\to 0$ for $r\to \mathrm{\infty }$, hvilket medfører at $C=0$. Den potentielle energi for den elektrostatiske interaktion er altså

$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r}$.

Ofte defineres the elektriske potential dog, som den potentielle energi per ladning. Potentialet omkring ladning 2 er altså

$\varphi =\frac{V}{q_1}$

hvilket er det samme som

$\varphi (r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{r}$

Mens kraften er invers proportional med den kvadrerede afstand, er potentialet altså blot inverst proportionalt med afstanden. Den negative gradient er derfor det elektriske felt.