Besselfunktion

Bessel funktion $J_{\alpha }(x)$ af første orden $alpha$ =0,1,2

Inden for matematik er en Besselfunktion en løsning til differentialligningen

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{du}{dx}+(1-\frac{{\alpha }^2}{x^2})u=0$.

Udtrykket kommer når man kigger på den radielle deling af Laplaces ligning i et polært koordinatsystem.

Funktionen er opkaldt efter Friedrich Wilhelm Bessel, men blev først beskrevet af Daniel Bernoulli.

Definition

Besselfunktioner af første grad defineres ved :

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$.

Differentialligningen har to lineært uafhængige løsninger og derfor også besselfunktioner af anden grad:

$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )},$.

$Y_{\alpha }(x)$ er ikke begrænset når $x\to 0$, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager. Skabelon:Commonscat

Sfæriske besselfuntioner

I samarbejde med med Laplaces ligning i sfæriske koordinater kommer et lignende udtryk for den radielle del:

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{2}{x}\frac{du}{dx}+(1-\frac{n(n+1)}{x^2})u=0.$

Denne har de sfæriske besselfunktioner som løsninger.

$j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{n+1/2}(x),$

$y_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{n+1/2}(x)=(-1{)}^{n+1}\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{-n-1/2}(x).$

Skabelon:Autoritetsdata