4-vektor

En 4-vektor er inden for den specielle relativitetsteori en vektorstørrelse, hvis skalarprodukt er invariant under Lorentz-transformationer.

En 4-vektor $𝐀$ har 4 komposanter:

$𝐀=\left(\begin{array}{c}{A}_0\\ A_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right)$

hvor den nulte komposant kaldes for tidslig, mens de tre andre kaldes for rumlige. Skalarproduktet mellem to 4-vektorer $𝐀$ og $𝐁$ er defineret som produktet af de tidslige komposanter minus produktet af de rumlige:

$𝐀\cdot 𝐁=A_0{B}_0-A_1{B}_1-A_2{B}_2-A_3{B}_3$

Dette skalarprodukt vil være det samme i et hvilket som helt inertialsystem.

Eksempel

Et eksempel på en 4-vektor er en forskydning $\mathrm{\Delta }𝐬$ i rumtiden, hvor den tidslige komposant altså er forskydningen i tiden $t$, mens de andre er de rumlige forskydninger $x$, $y$ og $z$:

$\mathrm{\Delta }𝐬=\left(\begin{array}{c}c\mathrm{\Delta }t\\ \mathrm{\Delta }x\\ \mathrm{\Delta }y\\ \mathrm{\Delta }z\end{array}\right)$

Tidsforskydningen er her ganget med lysets fart $c$, så alle komposanter har enheder af længde. Skalarproduktet med sig selv er da:

$\mathrm{\Delta }𝐬\cdot \mathrm{\Delta }𝐬=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-\mathrm{\Delta }{x}^2-\mathrm{\Delta }{y}^2-\mathrm{\Delta }{z}^2$

Det ses, at det første led blot er den kvadrerede tid mellem to begivenheder, mens de andre led er den kvadredrede rumlige afstand. I klassisk mekanik jf. Galilei-transformationerne er afstand i tid og rum begge invariante, men dette er ikke tilfældet i den specielle relativitetsteori jf. Lorentz-tranformationerne, da der sker tidsforlængelse og længdeforkortelse.