Afstandsformlen

Afstandsformlen er en sætning (eller rettere, en familie af sætninger) til at finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Dette gøres ved at indsætte koordinatsættet fra punkterne, i formelen. Nedenfor er sætningen og dens bevis for et todimensionelt, kartesisk koordinatsystem angivet.

Sætningen

To givne punkter (A & B) er angivet ved:

$A:(x_1;y_1)\frac{}{}$

$B:(x_2;y_2)\frac{}{}$

Det vil således gælde at, afstanden mellem disse er:

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Dette skal bevises.

Beviset

Et billede som viser afstandsformlen i geometrisk form

På vores tegning kan vi følge med i hvad der sker. Vi benytter os af pythagoras' læresætning, der siger følgende om en retvinklet trekant:

$a^2+b^2=c^2\frac{}{}$

På tegningen kan der ses en retvinklet trekant, og med viden fra afstande, kan vi dermed sige at:

$|AB{|}^2=|x_2-x_1{|}^2+|y_2-y_1{|}^2\frac{}{}$

$\Updownarrow$

$|AB{|}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2\frac{}{}$

$\Updownarrow$

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Det er dermed bevist at denne formel må give afstanden mellem de to punkter. Skabelon:Autoritetsdata