Arctanxy

Et punkt i planet, som ikke ligger i origo, har de rektangulære koordinater $(x,y)$ og punktets retningsvinkel er $\theta$.

Funktioner med navne som arctanxy eller arctan2 benyttes i matematik til bestemmelse af retningsvinklen $\theta$ (theta) hørende til et givet punkt i planen med kartesiske (rektangulære) koordinater $(x,y)$. Dog tildeles origo, altså punktet med koordinaterne $(0,0)$, ikke nogen retningsvinkel. Figuren illustrerer sammenhængen mellem $(x,y)$ og $\theta$.

Problematik

Kender man et punkts afstand $r$ fra origo $(0,0)$ og dets retningsvinkel $\theta$ (altså punktets polære koordinater $(r,\theta )$, kan man let beregnet punktets kartesiske koordinater $(x,y)$:

$\{\begin{array}{c}x=\cos (\theta )\cdot r\\ y=\sin (\theta )\cdot r\end{array}$

Til beregning den omvendte vej fra $(x,y)$ til $\theta$ er den matematiske funktion $\arctan$ utilstrækkelig, da den ikke kan skelne mellem to mulige retningsvinkler, $\theta$ eller $\theta +180^{\circ }$. For at løse dette problen er det nødvendigt at benytte en funktion med to argumenter, nemlig koordinaterne $x$ og $y$. Men de præsenterede løsninger er uenige om rækkefølgen.

arctan2

I 1961 implementerede programmeringssproget Fortran IV en funktion med to argumenter, $\mathrm{atan2}$, med parameterrækkefølgen $(y,x)$, således at

$\mathrm{atan2}(y,x)=\mathrm{atan}(y/x)$ for positive $x$.

hvor $\mathrm{atan}$ er Fortrans betegnelse for $\arctan$. Parameterrækkefølgen er her valgt at følge brøkskrivemåden $y/x$, men er den modsatte af standardkoordinatrækkefølgen $(x,y)$. Nedenstående given en oversigt over, hvilken software, der anvender hvilken konvention.

arctan2(y,x)

• Fortran.
• Programmeringssproget C benytter konventionen $\mathrm{atan2}(y,x)$.
• I Common Lisp skrives $(\mathrm{atan}yx)$.

arctan2(x,y)

• Microsoft Excel, OpenOffice.org Calc og Google Spreadsheets, benytter $(x,y)$-konventionen. I dansk Excel er celleformlen =arctan2(x_koordinat,y_koordinat).
• I Mathematica anvendes formen $\mathrm{ArcTan}[x,y]$. Mathematica klassificerer $\mathrm{ArcTan}[0,0]$ som et ubestemt udtryk.
• I de fleste grafiske lommeregnere fra Texas Instruments er det tilsvarende kald R►Pθ og argumentrækkefølgen er $(x,y)$.

arctanxy

Ved dette valg af navngivning er der ikke tvivl om argumentrækkefølgen, kaldet er $\mathrm{arctanxy}(x,y)$.

Implementation af arctanxy

Programmeringssprog, som indeholder en $\arctan$-funktion kan let konstruere $\mathrm{arctanxy}$. Herunder vises en implementation af $\mathrm{arctanxy}$ i programmeringssproget Visual Basic, hvor retningsvinklen leveres i radianer i intervallet $[\text{0, 2}\cdot \pi [$:

Public Pi As Double
Public PiQuart As Double
Public PiHalf As Double
Public Pi3half As Double
Public PiTwice As Double
Public mcDegToRad As Double

Sub InitMath()
    PiQuart = Atn(1)
    Pi = 4 * PiQuart
    PiHalf = 2 * PiQuart
    Pi3half = 6 * PiQquart
    PiTwice = 8 * PiQuart
    mcRadToDeg = 45 / PiQuart    ' 1 rad = 180/Pi degrees
End Sub
    
Public Function RadToDeg(x As Double) As Double
    RadToDeg = mcRadToDeg * x
End Function

Function AtnDeg(x As Double) As Double
    AtnDeg = RadToDeg(Atn(x))
End Function

Public Function ArctanXY_0_2pi(x As Double, y As Double) As Double
    Dim xAbs As Double, yAbs As Double, Phi As Double
    xAbs = Abs(x): yAbs = Abs(y)
    Select Case True
        Case x >= yAbs   ' Octants 1 and 8
            Phi = Atn(y / x)
            If y < 0 Then Phi = PiTwice + Phi    ' Octant 8
        Case y >= xAbs   ' Octants 2 and 3
            Phi = PiHalf - Atn(x / y)
        Case -x >= yAbs   ' Octants 4 and 5
            Phi = Pi + Atn(y / x)
        Case -y >= xAbs   ' Octants 6 and 7
            Phi = Pi3half - Atn(x / y)
    End Select
    ArctanXY_0_2pi = Phi
End Function

Ønskes retningsvinklen i grader, kan følgende konstruktion benyttes. På grund af afrundingsfejl i beregningerne må denne version anbefales i stedet for at benytte ovenstående og derefter konvertere vinklen fra radianer til grader. Retningsvinklen leveres i grader i intervallet $[\text{0;}360[$:

Public Function ArctanXY_0_360(x As Double, y As Double) As Double
    Dim xAbs As Double, yAbs As Double, Phi As Double
    xAbs = Abs(x): yAbs = Abs(y)
    Select Case True
        Case x >= yAbs   ' Octants 1 and 8
            Phi = AtnDeg(y / x)
            If y < 0 Then Phi = 360 + Phi    ' Octant 8
        Case y >= xAbs   ' Octants 2 and 3
            Phi = 90 - AtnDeg(x / y)
        Case -x >= yAbs   ' Octants 4 and 5
            Phi = 180 + AtnDeg(y / x)
        Case -y >= xAbs   ' Octants 6 and 7
            Phi = 270 - AtnDeg(x / y)
    End Select
    ArctanXY_0_360 = Phi
End Function