Bølgefunktion

En partikel i en én-dimensionel boks. A) Partiklen i følge klassisk mekanik. B-F) Partiklen i følge kvantemekanik som beskrevet med bølgefunktionen. B-D) er energi-egentilstande, mens E-F) er lineære kombinationer af egentilstande.

Skabelon:Kvantemekanik Den kvantemekaniske bølgefunktion er den måde, en partikel beskrives på i kvantemekanikken som formuleret med Erwin Schrödingers ligning. Bølgefunktionens værdier er generelt komplekse, og bølgefunktionen er således ikke målbar i sig selv, men den kan relateres til partiklens sandsynlighedstæthedsfunktion $\rho$ ved Born-relationen:

$\rho ={\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\Psi }\equiv |\mathrm{\Psi }{|}^2$

hvor $\mathrm{\Psi }$ er bølgefunktionen, og ${\mathrm{\Psi }}^{*}$ er den komplekst konjugerede bølgefunktion. Hvis bølgefunktionen er en funktion af koordinaten $x$, er sandsynligheden $P$ for at finde partiklen mellem punkterne $a$ og $b$ givet ved arealet under $\rho$ i det område:

$P(a\le x\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (x)dx$

Dette står i modsætning til klassisk mekanik, hvor partiklen kun har én mulig position.

Det samlede areal under $\rho$ er 1

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x)dx=1$

svarende til 100 % sandsynlighed for at finde partiklen. For bølgefunktionen gælder dermed tilsvarende:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dx=1$

Bølgefunktionen kan altså bruges til at beregne forventningsværdien af en observabel. For positionen $x$ er forventningsværdien $⟨x⟩$ - dvs. den gennemsnitlige værdi, hvis flere partikler i samme tilstand måles - givet ved

$⟨x⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Psi }(x{)}^{*}x\mathrm{\Psi }(x)dx$

eller bare

$⟨x⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\rho (x)dx$

Denne sidste omskrivning kan dog ikke gøres for alle observable. Generelt repræsenteres en observabel $Q$ af en operator $\hat{Q}$, der virker på bølgefunktionen. Forventningsværdien er altså givet ved denne formel

$⟨Q⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}(x)\hat{Q}\mathrm{\Psi }(x)dx$

for enhver observabel.

Se også

• Bølgefunktionens kollaps
• Squeezed lystilstande