Biimplikation

Skabelon:Wiktionary Biimplikation er en betegnelse i logik og matematik for et udsagn eller en funktion, der resulterer i værdien sand, når begge operander har samme sandhedsværdi. Dette betyder at enten er begge operander sande eller begge falske.

I logik skrives en biimplikation

$P\iff Q$

og læses: Det er tilfældet at P hvis og kun hvis det er tilfældet at Q. Det skal således forstås at P gælder kun hvis Q gælder men samtidigt også omvendt at Q gælder kun hvis P gælder. Det sidste kan skrives med symboler: (Q ⇒ P og P ⇒ Q ) $\iff$ ($P\iff Q$) .

Operanderne P og Q siges at være ækvivalente (eller logisk ækvivalente); i matematikken betyder det at operanderne udtrykker det samme fænomen på forskellige måder.

Biimplikation er transitiv. Dvs hvis P $\iff$ Q og Q $\iff$ W gælder P $\iff$ W.

Biimplikation bliver også skrevet som fraserne dobbelt implikation, hvis og kun hvis (engelsk if and only if - hyppigt forkortet til iff), hviss, når og kun når, netop hvis, netop når og ensbetydende med. Biimplikation kan skrives med symbolerne "$\iff$", "⇄", "↔" eller "≡".

Definition

Sandhedstabellen for P $\iff$ Q er som følger - sidste søjle (S=sand, F=falsk):

Sandhedstabel

P	Q	Skabelon:Nowrap
S	S	S
S	F	F
F	S	F
F	F	S

Sandhedstabellen for P $\iff$ Q er ækvivalent med det som produceres af en XNOR-gate (NOT af en XOR-gate) - og det modsatte af hvad der produceres af en XOR-gate.

Biimplikation i matematik

Et typisk eksempel på anvendelse af biimplikation er i matematik for at illustrere at to ligninger har ækvivalente løsningsmængder. F.eks. kan man illustrere at ligningen $2x^2=8$ har samme løsningsmængde som $x^2=4$ ved at skrive:

$2x^2=8\iff x^2=4\iff (x=-2\text{ eller }x=2)$.

Se også

• Logisk operator
• Ækvivalens