Binomialkoefficient

Inden for den matematiske gren kombinatorik angiver binomialkoefficienten $(\binom{n}{k})$ antallet af måder hvorpå man kan udtage k forskellige elementer taget fra en pulje med n forskellige elementer. Symbolet $(\binom{n}{k})$ udtales "n vælg k". Nogle af binomialkoefficienternes egenskaber kan illustreres med Pascals trekant.

Definition

Givet et reelt tal n og et ikke-negativt heltal k, er binomialkoefficienten defineret ved

(\binom{n}{k}) = \frac{n \cdot (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \dots 1} .

Hvis n er et naturligt tal gælder at

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

hvor n! betyder n fakultet. I Excel kan følgende benyttes : $(\binom{n}{k})$ = Kombin(n;x)

Egenskaber

Hvis n er et naturligt tal og n>k gælder $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , hvilket udtrykker en form for symmetri: der er lige så mange måder at udtage k elementer som der er at udtage alle undtagen k. Desuden er $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k})$ , hvilket svarer til, at hvert felt i Pascals trekant er lig med summen af de to felter ovenfor.

Anvendelser

Binomialkoefficienterne forekommer i binomialformlen

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} .

Eksempler

Hvis man skal købe en pizza med tre forskellige slags "fyld", og der er 20 forskellige slags "fyld" at vælge imellem, kan man vælge $(\binom{20}{3}) = \frac{20!}{3! 17!} = 1140$ forskellige pizzaer.
$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , og $(\binom{n}{1}) = (\binom{n}{n - 1}) = n$ .

Se også

Skabelon:Autoritetsdata

Binomialkoefficient

Indholdsfortegnelse

Definition

Egenskaber

Anvendelser

Eksempler

Se også

Navigationsmenu

Binomialkoefficient

Definition

Egenskaber

Anvendelser

Eksempler

Se også

Navigationsmenu

Søg