Cosinusrelation

En generel trekant med siderne a, b og c og vinkler A, B og C.

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:^[1]

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 \cdot b \cdot c}

\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 \cdot a \cdot c}

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 \cdot a \cdot b}

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning anvendes:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter. På grund af lighed med Pythagoras' læresætning kaldes cosinusrelationen også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange løsninger. Da en vinkel i en trekant altid er mellem 0° og 180° vælger vi den såkaldt principale løsning.

Cosinusrelationen kaldes også den udvidede Pythagoræiske læresætning. Hvis $C$ ovenfor er en ret vinkel gælder $C = 9 0^{\circ}$ . Da $\cos (9 0^{\circ}) = 0$ reduceres cosinusrelationen netop i dette tilfælde til Pythagorases læresætning $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Bevis

For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant, som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h).

Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² – 2a $\cdot$ c $\cdot$ cos(B) hvis vinkel B er spids:

Med pythagoras får man af den grå trekant: (a – x)² + h² = b² ⇔ h² = b² – (a – x)².

Og tilsvarende af den anden trekant: h² + x² = c² ⇔ h² = c² – x².

Nu er h² isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:

b² – (a – x)² = c² – x².

Nu skal b² isoleres, derfor får man: b² = c² – x² + (a – x)².

Parenteserne i denne ligning udregnes: b² = c² – x² + a² – 2ax + x².

Dette reduceres til: b² = c² + a² – 2ax.

Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.

Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b² = c² + a² – 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.

Dvs. b² = c² + a² – 2ax ⇔ b² = c² + a² – 2a · c · cos(B).

Q.E.D

Nu er beviset færdigt.

De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.