E (tal)

Skabelon:Lille forbogstav i titel Tallet e (også kaldet Eulers tal, opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler) er et transcendent tal, der har denne afkortede og tilnærmede værdi på 2,7182818284590452353602.

Definitioner

Der er forskellige definitioner for tallet e, men den mest grundlæggende er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen $y=f(x)={\mathrm{e}}^x$ altid er lig med y.

$\mathrm{e}$ er det eneste tal, for hvilket det gælder, at eksponentialfunktionen ${\mathrm{e}}^x$ opfylder relationen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x.$

Desuden er $\mathrm{e}$ grundtallet for den naturlige logaritme, ofte skrevet i notationen $\ln (x)$; altså opfylder $\mathrm{e}$ følgende:

$\ln (\mathrm{e})=\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=1.$

Af konstruktive definitioner kan blandt mange nævnes

$\mathrm{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$

$\mathrm{e}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\cdots$

Eulers identitet

Skabelon:Uddybende Ligheden

${\mathrm{e}}^{\pi i}+1=0$

er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Det er en Eulers identitet.

Notation

Eksponentialfunktionen ${\mathrm{e}}^x$ skrives somme tider med funktionen exp:

$\exp (x)={\mathrm{e}}^x.$

Dette bruges især på computere, for eksempel i programmeringssprog og regneark, hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig.

Kulturel Betydning

Konstanten fejres årligt d. 27. Januar eller den 7. februar på eulers-dag.