Elektrisk potential

Det elektriske potential er den potentielle energi pr. ladning i et elektrisk felt. Forskellen i potential mellem to punkter kaldes for spændingen, som spiller en central rolle i elektriske kredsløb.

Definition

Hvis en ladning $q$ har den elektriske potentielle energi $W_{\text{pot}}$ i punktet $\overrightarrow{r}$, er potentialet $\varphi$ altså givet ved:

$\varphi (\overrightarrow{r})=\frac{W_{\text{pot}}(\overrightarrow{r})}{q}$

For et konservativt kraftfelt generelt er kraften $\overrightarrow{F}$ givet ved gradienten til den potentielle energi $W_{\text{pot}}$:

$\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{W}_{\text{pot}}$

På samme måde er det elektriske felt $\overrightarrow{E}$ den negative gradient til potentialet:

$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi$

Omvendt kan det elektriske potential skrives som integralet af det elektriske felt.

Spænding

Skabelon:Hovedartikel I et elektrisk kredsløb bevæger ladninger sig fra et højt potential - genereret af en spændingskilde - til et lavere potential. Forskellen i potential mellem to punkter i kredsløbet kaldes for spændingen $U$:

$U=\mathrm{\Delta }\varphi$

I såkaldte ohmske modstande kan spændingen relateres til strømstyrken vha. Ohms lov.

Eksempel: Punktladning

Potentialet omkring en ladning, når ladningen bliver mindre og mindre. Først er ladningen positiv (rød), men bliver derefter negativ (blå).

I følge Coulombs lov er kraften mellem en ladning $Q$ og en ladning $q$ givet ved:

$\overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qq}{r^2}\hat{r}$

hvor ${\epsilon }_0$ vakuumpermittiviteten

${\epsilon }_0=8.854187817...\times 10^{-12}\text{F}{\text{m}}^{-1}$ (Farad pr. meter)

mens $\hat{r}$ er enhedsvektoren, der går fra ladning $Q$ til $q$. Det elektriske felt omkring $Q$ er derfor

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}$

Følgelig er potentialet altså givet ved integralet:

$\varphi (\overrightarrow{r})=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overrightarrow{E}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\cdot \text{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r{\text{'}}^2}\hat{r}\cdot \text{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{r{\text{'}}^2}\text{d}{r}^{\prime }$

Grænsen $\mathrm{\infty }$ kan vælges frit uden fysisk betydning, men den er her valgt for at potentialet er nul uendeligt langt væk fra $Q$. Integralet af én over afstanden i anden er minus én over afstanden:

$\varphi (\overrightarrow{r})=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}{[-\frac{1}{r^{\prime }}]}_r^{\mathrm{\infty }}$

Én over uendelig er blot nul, så potentialet er derfor givet ved:

$\varphi (\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}$

Det ses, at potentialet som forventet er nul, når afstanden er uendelig stor. Potentialet blevet derimod større og større, jo mindre afstanden bliver. Hvis ladningerne $Q$ og $q$ har samme fortegn, vil de altså frastøde hinanden, mens ladninger med forskelligt fortegn tiltrækker hinanden.