Forhold mellem ortogonale linjer

I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.

Sætning

To linjer $m_1$ og $m_2$, med hældningskoefficienterne henholdsvis ${\alpha }_1$ og ${\alpha }_2$, er ortogonale netop, hvis produktet af deres hældninger er $-1$:

$m_1\perp m_2\frac{}{}$ $\iff$ ${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2=-1\frac{}{}$

Bevis

Ortogonale linjer

Vi betragter tegningen. Kan vi se at;

$m_1\perp m_2\frac{}{}$

Vi benytter os af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).

$|AB{|}^2+|AC{|}^2=|BC{|}^2\frac{}{}$

Vi ser på tegningen. Længden $|BD|$ kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen $m_1$. Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå ${\alpha }_1$ opad ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for ${\alpha }_2$, med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. $-(-3)=3$.

Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:

$(1^2+{\alpha }_1^2)+(1^2+{\alpha }_2^2)={({\alpha }_1+(-{\alpha }_2))}^2$

Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:

$1^2+{\alpha }_1^2+1^2+{\alpha }_2^2={\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2-2\cdot {\alpha }_1\cdot {\alpha }_2$

$\Updownarrow$

$2=-2\cdot {\alpha }_1\cdot {\alpha }_2\frac{}{}$

$\Updownarrow$

$\frac{2}{-2}={\alpha }_1\cdot {\alpha }_2$

$\Updownarrow$

$-1={\alpha }_1\cdot {\alpha }_2$

Vi ser således at første linje, $m_1\perp m_2$, medfører den sidste linje, ${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2=-1$.

Sætningen er dermed bevist.

$Q.E.D.\frac{}{}$