Hölders ulighed

I matematisk analyse er Hölders ulighed en fundamental ulighed, der relaterer L^p-rum, som er opkaldt efter den tyske matematiker Otto Hölder.

Lad S være et målrum, lad 1 ≤ p, q ≤ ∞ med 1/p + 1/q = 1 og lad f og g være målelige funktioner. Da gælder

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$

Specielt gælder for f i L^p(S) og g i L^q(S), at fg ligger i L¹(S).

Tallene p og q kaldes hinandens Hölderkonjugerede.

Hölders ulighed bruges til at vise trekantsuligheden i L^p og Minkowkis ulighed og bruges ligeledes til at opnå, at L^p og L^q er duale rum.

Hölders ulighed blev først fundet af Leonard James Rogers i 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.

Vigtige specialtilfælde

• For p = q = 2 er Hölders ulighed blot Cauchy-Schwarz' ulighed.

• I tilfældet med euklidisk rum, dvs. hvis S er {1, …, n} med tællemålet, fås for alle x og y i Rⁿ (eller i Cⁿ), at

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}.$

• Hvis S = N med tællemålet fås Hölders ulighed for følger i ${\ell }^p$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n\cdot y_n|\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }x\in {\ell }^p,y\in {\ell }^q.$

• For rummet af integrable funktioner med komplekse værdier, haves

$|\int f(x)g(x)dx|\le \int |f(x)g(x)|dx\le {(\int {|f(x)|}^{p}dx)}^{1/p}\cdot {(\int {|g(x)|}^{q}dx)}^{1/q}.$

Bevis

Beviset for uligheden hænger på Youngs ulighed: for ikke-negative a og 1/p ∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder

$ab\le a^p/p+b^q/q,$

og der gælder lighed hvis og kun hvis a^p = b^q

Hölders ulighed er triviel at vise, hvis enten f eller g har uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at

$\Vert f{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_q=1.$

Ved at bruge Youngs ulighed med a = |f(x)| og b = |g(x)|, fås for alle x i det pågældende målrum, at

$|f(x)g(x)|\le \frac{1}{p}|f(x){|}^p+\frac{1}{q}|g(x){|}^q.$

Integration giver nu

$\Vert fg{\Vert }_1\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1=\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q,$

hvilket viser påstanden.

Skabelon:Autoritetsdata