Keglestub

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

keglestub

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

$A=\pi s(R+r)$

hvor:

• $R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• $r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.
• $s$ er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

$s$ kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: $R$-$r$ og c: $s$.

Altså: $h^2+(R-r{)}^2=s^2$

Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

$V=\frac{1}{3}h\pi (R^2+r^2+Rr)$

hvor:

• $h$ er højden i figuren
• $R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• $r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.

Bevis for rumfangs formel

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion $y=f(x)$ som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne $a$ og $b$, kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi f(x{)}^{2}dx$

For en keglestub gælder $f(x)=r+x\cdot \frac{R-r}{h}$ og det ønskede omdrejnings volumen findes med $a=0$ og $b=h$.

$V=\underset{0}{\overset{h}{\int }}\pi {(r+x\cdot \frac{R-r}{h})}^{2}dx$

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}(r^2+x^2\cdot {\left(\frac{R-r}{h}\right)}^2+2\cdot r\cdot x\cdot \frac{R-r}{h})dx$

$V=\pi {(x\cdot r^2+\frac{1}{3}{x}^3\cdot {\left(\frac{R-r}{h}\right)}^2+2\cdot r\cdot \frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{R-r}{h})|}_0^h$

$V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+r^2+Rr)$

Volumenet for en keglestub-skal med konstant tykkelse kan ud fra ovenstående vises at være

$V=\pi ht(R+r-t)$

hvor:

• $t$ er skallens tykkelse målt parallelt med bunden og toppen.
• $R$ og $r$ er keglestubben udvendige mål

Hvis tykkelsen er målt vinkelret på skallens overflade skal $t$ erstattes med

$t=T\frac{\sqrt{(R-r{)}^2+h^2}}{h}$

hvor:

• $T$ er skallens tykkelse målt vinkelret på den skrå overflade.

Se også

• Pyramidestub

Eksterne henvisninger

• http://www.analyzemath.com/Geometry/conical_frustum.html
• problem på volumen af en trunkeret elliptisk kegle (engelsk)