Kommutativitet

En funktion $\circ$ er kommutativ, hvis, og kun hvis, $x\circ y=y\circ x$ for et hvert $x$ og $y$. Billedet illustrerer dette med en "regnemaskine". Det er uden betydning for "regnemaskinens" udkomme $x\circ y$ eller $y\circ x$ respektive hvilken orden argumenterne $x$ og $y$ har – det endelige resultat er det samme.

Kommutativitet er et matematisk begreb. En operation (evt. en funktion af to variable) er kommutativ, hvis rækkefølgen af operationens operander er uden betydning for resultatet.

Binære operationer

Eftersom en binær operation løst set er en funktion $O_2(\cdot ,\cdot )$, der fører to elementer fra den ene mængde tilbage til den samme mængde, $O_2(\cdot ,\cdot ):X\times X\to X$. Og eftersom en binær operation har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operations to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operationer.

En binær operation $O_2(\cdot ,\cdot )$ over en mængde $M$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.

$\mathrm{\forall }{a}_1,a_2,a_3\in M:O_2(a_1,a_2)=O_2(a_2,a_1)$

$\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in M:a_1\cdot a_2=a_2\cdot a_1$

det vil sige, hvis alle elementer i $(M,\cdot )$ er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5

5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8

8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(ae+bg)& (af+bh)\\ (ce+dg)& (cf+dh)\end{array}\right],$

hvorimod

$\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(ea+fc)& (eb+fd)\\ (ga+hc)& (gb+hd)\end{array}\right].$

Binære funktioner

En binær funktion løst set er en funktion $f_2(\cdot ,\cdot )$, der fører ét element fra den ene mængde og et andet element fra den anden mængde over til den tredje mængde, $f_2(\cdot ,\cdot ):X_1\times X_2\to Y$. Og eftersom en binær funktion har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær funktions to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Dersom tilfældet $X_1$ ≠ $X_2$ overvejes, altså $f_2(\cdot ,\cdot ):X_1\times X_2\to Y$, kan kommutativitet ikke gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører hver deres mængde. Dersom tilfældet $X_1$ = $X_2$ = $X$ overvejes, altså $F_2(\cdot ,\cdot ):X\times X\to Y$, kan kommutativitet muligvis gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører den samme mængde.

Se også

• Associativitet
• Distributivitet
• Kommutator (matematik)